Материал: Ряды Фурье (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1)имеет не более, чем конечное число точек разрыва, и все они первого рода (т. е. существуют оба односторонних предела);

2)имеет не более, чем конечное число точек строгого локального экстремума.

Конечно, функций, интегрируемых с квадратом, значительно больше, чем тех, которые удовлетворяют условию Дирихле. Вместе с тем это довольно широкий класс, к которому принадлежат

многие функции, встречающиеся на практике.

Теорема 3. Если функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле на отрезке [−l,l], то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке x [−l,l]. Более того, сумма ряда Фурье S(x) совпадает с f(x) в любой точке непрерывности функции f(x). В точках, где функция f(x) терпит разрыв, сумма ряда Фурье S(x) равна полусумме односторонних пределов f(x), т. е.

12 f(x+0)+f(x−0) .

Наконец, в граничных точках

S(±l) = 12 f(l−0)+f(−l+0) .

Сумма тригонометрического ряда (6), периодична с периодом 2l. Поэтому из теоремы 3 следует, что ряд Фурье функции, удовлетворяющей условию Дирихле на [−l,l], сходится на всей числовой оси к периодичной функции S(x). Будем говорить, что

S(x) является разложением функции f(x) в ряд Фурье. Замечание. Тригонометрическим рядом Фурье функции f(x)

L2[a,a+2l] называется ряд вида (9) с коэффициентами

a+2l

1

a0 = l f(x)dx;

a

a+2l

f(x)cos nlπxdx;

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Итак, тригонометрический ряд Фурье четной функции на отрезке [−l,l] имеет вид

Рассмотрим следующую задачу. Разложить функцию f(x), заданную на отрезке [0,l], в ряд Фурье, не содержащий синусов. Для этого мы доопределяем функцию так, чтобы она была четной на отрезке [−l,l]. Тогда, согласно свойству ряда Фурье четной функции, коэффициенты при синусах будут равны нулю.

Аналогично можно поставить задачу о разложении в ряд Фурье, не содержащий косинусов. В этом случае надо доопределять функцию так, чтобы она была нечетной на отрезке [−l,l].

Такие ряды называются неполными рядами Фурье или рядами соответственно по косинусам и синусам.

5. ТИПОВЫЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задача 2. Функцию

f(x) = 2, −π < x < 0; 1, 0 < x < π

разложить в ряд Фурье и вычислить его сумму при всех x [−l,l]. Р е ш е н и е. Найдем коэффициенты Фурье из формул (8):

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Наконец, заметим, что bn = 0 при четных n, и bn = −πn при нечетных n. Поэтому

Упражнение 4. Построить графики частичных сумм ряда Фурье из задачи 2: S1(x),S3(x),S5(x). Сравнить их с графиком функ-

Задача 3. Подставить x = 2π в ряд Фурье S(x) из задачи 2 и

найти сумму этого числового ряда.

π

Р е ш е н и е. Если в (10) взять x = 2, то получим

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Итак, доказано следующее соотношение:

Замечание. К сожалению, соотношение (12) непригодно для вычисления числа π из-за чрезвычайно медленной сходимости. Например, чтобы получить чило π с абсолютной погрешностью 0,01, потребуется взять около 200 слагаемых ряда из правой части соотношения (12).

Задача 4. Функцию

f(x) = x, −3 < x < 0; 0, 0 ≤ x < 3.

разложить в тригонометрический ряд Фурье и вычислить его сумму при всех x [−l,l].