Материал: Симметрические уравнения

В процессе работы над учебным пособием мы обращались к следующим учебникам и задачникам: [19, с. 71–76], [2, с. 23–31], [5, с. 77–79], [6, с. 249–251], [8, с. 164–171], [3, с. 184–187], [10, с. 70–77], [11, 249–253], [12, с. 142–145], [15, с. 70–74], [4, с. 112–116], [16, с. 132–135], [18, с. 36–42], [14, с. 106–112], [1, с. 195–203], [20, с. 40–48]. Читателям, желающим глубже познакомиться с теорией, рекомендуем работы [13, с. 321–334], [7] и [9].

Биографические справки в конце книги посвящены авторам учебников и задачников по алгебре из приведенного выше списка. К сожалению, мы располагаем неполной информацией. Будем признательны каждому, кто сообщит недостающие сведения по одному из адресов: belyi@petrsu.ru или kurs_belyi1@mail.ru.

Выражаем благодарность всем, кто высказал замечания и предложения по ранее вышедшим в печать книгам данной серии.

Евгений Белый Январь 2021

Теория, примеры и задачи

§ 1. Системы двух уравнений

1.1. Теория и примеры

4 35 Вспомним теорему Виета. Еще древние греки применяли ее для нахождения корней квадратного трехчлена. Но греки находили корни геометрически, с циркулем и линейкой. Нас же сейчас интересуют алгебраические методы. Пусть квадратный трехчлен представлен в виде

и имеет вещественные корни 1 и 2. Тогда его можно разложить в произведение двух линейных членов:

2 + + = ( − 1)( − 2).

Раскроем скобки и приведем подобные:

( − 1)( − 2) = 2 − ( 1 + 2) + 1 2.

8 Теория, примеры и задачи

Теорема 1 (теорема Виета). Если 1 и 2 – корни квад- ратного трехчлена (1), то их сумма равна коэффициенту при с противоположным знаком, а произведение – свободному члену (2).

Теорема 2 (обратная теорема Виета). Если перемен- ные 1 и 2 удовлетворяют условиям (2), то они являются корнями квадратного трехчлена (1).

Прямая теорема иногда помогает нам угадать корни квадратного трехчлена. Например, только взглянув на выражение 2 − 5 + 6, мы можем сказать, что 1 = 2 и 2 = 3. Аналогично мы видим корни трехчлена 2 − 5 − 6. Это1 = −1 и 2 = 6. Обратная теорема позволяет свести процесс решения системы вида

+ = ,

к нахождению корней одного уравнения.

· =

Дадим системе геометрическую интерпретацию. График первого уравнения – прямая, второго – гипербола. Возможны три случая: графики имеют две точки пересечения, одну или не пересекаются. На рис. 1 приведен пример для = 1. Cистема уравнений имеет два решения,

одно решение или не имеет решений, когда принимает значения 3, 2 и 1 соответственно. Координаты ( ; )

Рис. 1. Графики уравнений: два решения ( = 3); одно решение ( = 2); нет решений ( = 1)

точек пересечения графиков будут корнями квадратного трехчлена 2 − · + .

Пример 1.

+ = 5,

= 6.

Решение. Мы могли бы сразу угадать ответ.

Но тогда нас попросят обосновать отсутствие других решений. Легко! Обратная теорема Виета утверждает, что значения и , удовлетворяющие условию задачи, долж-

ны быть корнями квадратного трехчлена 2 − 5 + 6, а он

имеет только два корня: 1 = 2 и 2 = 3. В следующем примере угадать решения не удастся.

Пример 2.

+ = 3,

= −1.

Решение. Найдем корни треxчлена 2 −3 −1. Дискрими-

нант = 9 + 4 = 13. Значит,

Теперь можно записать ответ.

вестными являются пары значений и , которые интерпретируются как координаты точек на плоскости, в даль-