Материал: Симметрические уравнения

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теория, примеры и задачи

+ = 11,

= 5,

2. = 6,

= 30.

= 6.

= 5.

+ = 5,

1.1.

= 2,

1.2.

= 3,

= 6.

= 3.

= 2.

+ = 6,

2.1.

= 1,

2.2.

= 5,

= 5.

= 1.

Ответ: (3; 2), (2; 3),

(5; 1).

(1; 5)

Пример 7.

= 4,

+ 2 = 17.

Решение:

4( + ) = 5 ,

( + )2

2 = 17;

= 17 + 2 ;

( + )2

−

5( + )2 = 85 + 10 ,

5( + )2 − 8( + ) = 85,

8( + ) =

10 ;

5 = 4( + ).

−

= + . Тогда

Пусть

первое уравнение в последней фи-

гурной скобке можно записать в виде

5 2

− 8 − 85 = 0.

§ 1. Системы двух уравнений

4 ± 21

/4 =

16 + 425 = 441,

21,

. Поскольку

√

, а

1,24

,5для

1 = − 5

= 5

( + )

= 5

= +

каждого корня получим систему уравнений:

+ = −17,

1. = −68, 5 где x и y – корни уравнения

2 +	17			68				0. (5 )2
			−			=						+ 17(5 ) − 68 = 0. Неизвест-
	5		−		25	=						+ 17(5 ) − 68 = 0. Неизвест-
																							√
ная величина здесь 5 . =													561. 5				=		−17 ±					561
ная величина здесь 5 . =													561. 5				=		−17 ±
				−17 ±			√									1,2					2
		=					561			. Таким образом, мы получили два

				10
1,2				10
решения:				(−17−10						10		)	и (−			10		; −						).
решения:				(−17−10				561 ; −		10		)	и (−			10		; −		17	−10			).
						√				17+√561						17+√561				17		√561
		2.		+ = 5,								решения (1; 4) и (4; 1).
				= 4.
								√			√								√						√
(1; 4) и (4; 1)(.							10			10				)		(		10						10		)
Ответ:						−17− 561 ; −17+						561			,		−17+			561 ; −17− 561						,
Пример 8.									8 + 8						41
												=			41	,

															128
									2 + 2			= 1.

18																		Теория, примеры и задачи

Решение:
( 4 + 4)2 − 2 4 4 =													41			,

														128			Повторим ту же процедуру:
2		+ 2		= 1.

	( 2 + 2)2						− 2 2 2			)		2		− 2 4			4	41
																		=		,
																		=	128	,		Так как 2+ 2 = 1,
(	2	+	2	= 1.
		+		= 1.
				2	2		2		4		4		41					4			4			2	2		87
(1 − 2						)		−	2				=				,	2				− 4				+		= 0,
(1 − 2						)		−	2				=		128		,	2				− 4				+	128	= 0,
2		+ 2		= 1;														2 + 2 = 1.
													2				2						2	− 4 +			87
Введем обозначение =																		. Тогда			2							= 0.
Введем обозначение =																		. Тогда			2						27	= 0.

(16 )2 − 32(16 ) + 87 = 0. Неизвестная величина здесь 16 .

/4 = 162			− 87 = 169 = 132. 16 1,2 = 16 ± 13
1 =	3	,	2 =	29	. Осталось рассмотреть две систе-
	16			16

мы уравнений, которые являются симметрическими отно- сительно 2 и 2. Последнее означает, что если ввести за-

мену переменных, например = 2, = 2, то получатся

системы, симметрические относительно и .

1.		16		1.1.		2	3	1.2.		2	1
	2 2 =	3	,		2		= 1 ,		2		= 3 ,
	2 + 2 = 1.				= 4 .				= 4 .
							4				4

§ 1. Системы двух уравнений														19

	2 2 =	29	,				29						29

2.		16		2	−	+		= 0.	= 1	−	4	·		< 0.

							16						16
	2 + 2	= 1.					16						16

Последняя система уравнений не имеет решения.
								√								√3								√3
					1					3			1										1
3			1	(	−2						1)	(3			;			)	,		3(		1		)
						3											1
Ответ:						; − 2					,		−2			2							2	; − 2 ,
(−	√	; −2 ),			(−		√		; 2 ),			(	√	; −2 ),					(	√		; 2 ).

	2						2						2							2

( √ )

12 ; 23 ,

Геометрический смысл последнего задания: найти координаты точек пересечения окружности 2 + 2 = 1 с кривой

8 + 8 = 12841 . Любопытства ради посмотрим, что же это за кривая (рис. 2). Уравнение + = при возраста-

Рис. 2. Графики к примеру 8

нии определяет фигуры, все более похожие на квадрат.

√

В нашем случае = 8 12841 ≈ 0.867.

20						Теория, примеры и задачи

Дружащий		с		тригонометрией			школьник увидит
в последнем		задании				подход к	решению	уравнения
cos8	+ sin8	=		41	. Если обозначить cos = , sin =

			128
и	учесть	главное				тригонометрическое		тождество
cos2	+ sin2 = 1, получим условия примера 7.

В следующем примере сведем уравнение с радикалами к

симметрической системе уравнений.

√

Пример 9. Решить уравнение

− 1 +

102 −

= 11

Решение.

Найдем

ОДЗ:

[1; 102].

Обозначим:

√

−

= 11,

+ = 11,

√

= 101;

( + )

2 = 101;

102

−

;

−

+ = 11,

1. = 1,

2. = 10,

= 10.

= 1.

= 2

= 101

первом случае получим

, во втором

Ответ: 1 = 2, 2 = 101. Пример 10.

+ + 4 = 6,

+ + | + |= 6.

Решение. Если + < 0, второе уравнение примет вид

0 = 6, и тогда система не имеет решения. Следовательно,

Источник: https://studfile.net/preview/16447550/

Смотрите также:

_04_Mериме
'Славная революция' в Англии и её последствия
0002d82e-42262f6d
00511
00598
02-20-GP-DNA-tech2-ГМО
03-20-GP-SequencingHumanGenome
04 Расстройства кровообращения (полнокровие, кровотечение, кровоизлияние, стаз)
06.билет 6 Давыдова
09