Материал: Симметрические уравнения

√ √ √

1,2 = 3 2 ± 14 − 4 6 2

Подберем такие и , чтобы выполнялись условия:

Пример 4 (первая Московская математическая олимпиада, 1936). Сколько действительных решений

Решение. При каждом фиксированном мы имеем сим-

метричную относительно и систему уравнений

+ = 2,

2 − 2 + 1 + 2. /4 = − 2.

= 1 + 2.

/4 ≥ 0 только при = 0. Тогда квадратный трехчлен2 − 2 + 1 имеет два совпадающих корня: 1 = 2 = 1. Единственное решение: = = 1, = 0.

Ответ: одно решение.

Определение 1. Многочлен ( , ) от двух переменных

и будем называть симметрическим, если

( , ) ≡ ( , ).

Это значит, что если в многочлене поменять местами переменные, то мы получим многочлен, тождественный исходному. Симметрическими являются уже знакомые нам многочлены + и , а также 2 + 2, − 3 + ,

5 + 2 2 + 5 + 2 2 и т. д. Здесь мы акцентируем внимание

на симметрических многочленах, но, конечно, симметрическими могут быть и другие выражения:

На этот случай сформулируем более общее определение. Определение 2. Выражение ( , ) от двух переменных

и будем называть симметрическим, если

( , ) ≡ ( , ).

Определение 3. Многочлены 1 = + и 2 = будем называть элементарными симметрическими.

Приведем без доказательства две теоремы, утверждения которых, возможно, многим покажутся очевидными. Теорема 3. Если в любом многочлене ( 1, 2) вместо 1

и 2 подставить соответственно + и , то получится

симметрический многочлен от и .

Теорема 4. Любой симметрический многочлен от и

можно представить в виде многочлена от + и .

Первая теорема дает нам метод конструирования симметрических многочленов. Вторая подсказывает подход к решению уравнений с такими многочленами.

Определение 4. Уравнение, в которое входят только симметрические выражения, будем называть симметрическим. Разумеется, определенный в этой книге вид симметрии

уравнений не единственно возможный.

Из теоремы 4, в частности, следует, что через 1 = + и 2 = можно выразить любой многочлен вида + ,

где – натуральное число. Ниже приведен ряд полезных

тождеств.

+ = 1,

2 + 2 = 12 − 2 2,3 + 3 = 13 − 3 1 2,

4 + 4 = 14 − 4 12 2 + 2 22,5 + 5 = 15 − 5 13 2 + 5 1 22,

6 + 6 = 16 − 6 14 2 + 9 12 22 − 2 23,7 + 7 = 17 − 7 15 2 + 14 13 22 − 7 1 23,

8 + 8 = 18 − 8 16 2 + 20 14 22 − 16 12 23 + 2 24,9 + 9 = 19 − 9 17 2 + 27 15 22 − 30 13 23 + 9 1 24,

10 + 10 = 110 −10 18 2 +35 16 22 −50 14 23 +25 12 24 −2 25.

(3)

Второе тождество ( 2 + 2 = 12 − 2 2) непосредственно следует из тождества 2 + 2 = ( + )2 − 2 . Умножим

его левую и правую части на + .

( 2 + 2)( + ) = ( 12 − 2 2)( + )

3 + 3 + 2 + 2 = 13 − 2 1 2

3 + 3 = 13 − 2 1 2 − ( + ) = 13 − 3 1 2.

Также последовательно доказываются и остальные тождества (3).

Пример 5.

+ = 6,

2 + 2 = 20.

Решение:

Ответ: (2; 4), (4; 2).

Пример 6.

+ + = 11,

2 + 2 = 30.