Материал: Случайные события. методические указания к самостоятельной работе для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей». Хвостов А.А., Ряжских А.В

53. Найти вероятность безотказной работы производственной системы, изображенной на рисунке, если Р(А)=0,8; Р(В)=0,7; Р(С)=0,9.

54. Найти вероятность безотказной работы производственной системы, изображенной на рисунке, если она работает даже при работе хотя бы одного из параллельно включенных элементов и вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: Р(А)=0,75; Р(В)=0,65; Р(С)=0,9.

А

В

С

55. Найти вероятность безотказной работы производственной системы, изображенной на рисунке, если она работает даже при работе хотя бы одного из параллельно включенных элементов и вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: Р(А)=0,9; Р(В)=0,9;P(С)=0,7; P(D)=0,8.

В

С

56. Производственная система, изображенная на рисунке, работает следующим образом. Если элемент А отказал, то через ключ К подключается элемент В (холодное резервирование). Найти вероятность безотказной работы системы, если: Р(А)=0,7; Р(В)=0,9; Р(К)=0,9.

А

К

В

57. См. условие задачи 56

11

А1 А2

В1 В2

Р(А1)=0,9; Р(А2)=0,9; Р(В1)=0,8; Р(В2)=0,9; Р(К1)=0,7; Р(К2)=0,8.

58. Найти вероятность безотказной работы некоторой системы, изображенной на рисунке, если она работает даже при работе хотя бы одного из параллельно включенных элементов и вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: Р(А)=0,9; Р(В)=0,8; Р(С)=0,85; Р(D)=0,7.

Р(А)=0,7; Р(В)=0,8; Р(С)=0,9; P(D)=0,95.

60. Производственная система, изображенная на рисунке, работает следующим образом: если элемент А отказал, то через ключ К подключается элемент В. Найти вероятность безотказной работы этой системы, зная, что:

Р(А)=0,9; Р(В)=0,8; P(С)=0,9; Р(К)=0,7.

А С

К

В

61.Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3 % всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75 % стандартных изделий удовлетворяют требованиям 1 сорта?

62.В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажется белые.

12

63.Из билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим (без возвращения) выбирают 2 билета. Какова вероятность того, что номера этих билетов четные?

29.Буквы И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л написаны на отдельных карточках. Маленький ребенок берет 4 карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово «ТИГР»?

64.На полке стоят 6 учебников по математике и 3 по информатике. С полки наудачу берется сначала один учебник. Потом второй. Найти вероятность, что первая взятая книга будет учебником по информатике, а вторая учебником по математике.

65.Студент знает 25 вопросов программы из 30. На экзамене ему наугад предложены последовательно 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает первый вопрос и не знает второй?

66.Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, взяты наугад 2. Найти вероятность того, что

а) обе ручки красные; б) ручки разных цветов. Рассмотреть два случая:

1)извлеченная первой ручка не возвращается в коробку;

2)извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.

67.Из цифр 1; 2; 3; 4; 5 сначала выбирают одну, а затем – еще одну цифру. Предположим, что все 2 возможных исхода равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз, б) второй раз, в) оба раза.

68.Охотник выстрелил три раза по зайцу. Считая, что в первый раз он попадает с вероятностью 0,7, и, начиная со второго раза, повышает вероятность попадания на 0,1 при каждом выстреле, найти вероятность хотя бы одного попадания в зайца.

69.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 3 места. Как изменится вероятность, если он помнит, что последняя цифра нечетная?

70.На 20 карточках написаны 20 вопросов. Студент берет одну карточку

иесли отвечает на вопрос, то получает зачет. Если он не знает ответа, то карточку откладывает и берет другую. Можно использовать 3 карточки. Какова вероятность получить зачет, если студент знает ответы на 12 вопросов.

71.Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую, при одном выстреле, равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 6 выстрелов.

72.Два игрока по очереди извлекают шары из коробки, содержащей 3 белых и 4 красных шара. Выигравшим считается тот, кто первым извлечет

13

белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока. Рассмотреть два случая: 1) извлеченный шар возвращается в коробку; 2) шар не возвращается в коробку.

73. Для типичных посетителей кондитерского магазина вероятность покупки конфет составляет 0,23, вероятность покупки печенья равна 0,76, а условная вероятность покупки печенья при условии покупки конфет составляет 0,85. а) Найдите вероятность покупки типичным посетителем и конфет, и печенья, б) Найдите вероятность того, что типичный посетитель делает покупку (покупает либо конфеты, либо печенье).

3.ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

1.Электролампы изготовляют на трех заводах. Первый производит 40 % общего количества всех электроламп, второй – 32 %, и третий – 28 %. Продукция первого завода содержит 75 % стандартных ламп, второго – 78 %, а третьего – 85 %. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова

вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной ?

2.На станцию очистки сточных вод 20 % стока поступает с первого предприятия, 25 % - со второго, а остальное - с третьего. Вероятность появления в воде солей тяжелых металлов для первого, второго и третьего предприятия соответственно равна 0,01; 0,01 и 0,06. Определить вероятность появления солей тяжелых металлов во всем стоке.

3.В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй — 85 %, третьей — 75 %. Найти вероятность того, что приобретённое изделие окажется нестандартным.

4.Вероятность изготовления детали с дефектом на некотором предприятии равна 0,04. Какова вероятность приема детали системой контроля, если в этой системе вероятность приема годной детали равна 0,98, а вероятность приема дефектной – 0,05?

5.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,7, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

6.В лаборатории имеется 12 автоматических машин и 8 полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения некоторого задания автомат не выйдет из строя, равна 0,94. Для полуавтоматов эта вероятность равна 0,85. Студент выполняет задание на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что до конца выполнения задания машина не выйдет из строя.

7.Группа спортсменов состоит из 10 лыжников, 6 боксеров и 4 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжников составляет 0,8; боксеров 0,7; бегунов 0,9. Какова вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.

14

8.В магазин поступили ноутбуки в количестве 50 штук от трёх производителей: 15 ноутбуков от первого, 10 - от второго, остальные - от третьего производителя. Вероятность того, что ноутбук, изготовленный первым производителем, не потребует ремонта течение гарантийного срока равна 0,9 для второго и третьего производителей эти вероятности, соответственно, равны 0,8 и 0,85. Какова вероятность того, что ноутбук, купленный в магазине не потребует ремонта в течение гарантийного срока?

9.Имеется 5 партий радиоламп: 3 партии по 8 штук, в каждой из которых 6 стандартных и 2 нестандартных, и 2 партии по 10 штук, в каждой из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Из одной, взятой наудачу партии, случайным образом выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет стандартной.

10.В шести одинаковых ящиках по 10 деталей, причем в трех ящиках по 8 деталей, в двух – по 6 деталей и в одном – 5 деталей первого сорта. Наудачу выбираем одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет первого сорта.

11.Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти,

востальных устройствах относится как 4:3:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, и остальных устройствах соответственно равны 0,85; 0,88; 0,92. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

12.Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти,

востальных устройствах относится как 4:3:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, и остальных устройствах соответственно равны 0,85; 0,88; 0,92. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

13.При передаче сообщения сигналами “точка” и “тире” эти сигналы встречаются в отношении 7/4. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 1/3 сообщений “точка” и 5/11 сообщений “тире”. Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен.

14.Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,05, на втором - 0,04, на третьем - 0,03. Изготовленные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а третьего - в два раза меньше второго. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

15.Технологический процесс был расстроен, и в силу этого в среднем 18% продукции было забраковано. Каждая деталь из этой продукции поступила на контроль, который был не совершенным: если деталь была хорошей, то контроль пропускал ее с вероятностью 0,85, если деталь была бракованной, то на контроле ее браковали с вероятностью 0,72. Предположим, что покупатель

15