Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

Пример 7. Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 2.5).

Как известно, площадь поверхности вращения

Рис. 2.5.

Подынтегральная функция зависит лишь от у и y’ и, следовательно, первый интеграл уравнения Эйлера будет иметь вид F-y'F_y’= С₁ или в данном случае у

.

После упрощений получаем .

Проще всего это уравнение интегрируется подстановкой у'=sht. тогда у = С₁ ch t, а

, .

Итак, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид

Исключая параметр t, будем иметь семейство цепных линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами. Постоянные С₁ и С₂ определяются из условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точек А и В может существовать одно, два или ни одного решения).

Пример 8. Задача о брахистохроне: определить кривую, соединяющую заданные точки А и В, при движении по которой материальная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).

Поместим начало координат в точку А, ось Ох направим горизонтально, ось Оу — вертикально вниз. Скорость движения материальной точки откуда находим время, затрачиваемое на перемещение точки из положения А (0, 0) в положение В(х₁,у₁):

Так как этот функционал также принадлежит к простейшему виду и его подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл F-y’F_y’=C, или в данном случае . Откуда после упрощений будем иметь или . Введем параметр t, полагая у' = ctg t; тогда получим:

.

Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии имеет вид ,

Если преобразовать, параметр подстановкой 2t=t₁ и принять во внимание, что С₂=0, так как при y=0, x=0, то мы получим уравнение семейства циклоид в обычной форме:

,

где C₁/2- радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения циклоиды через точку В(х_1,,у₁). Итак, брахистохроной является циклоида.

Функционалы вида

Для получения необходимых условий экстремума функционала v более общего вида

при заданных граничных значениях всех функций

будем варьировать лишь одну из функций

оставляя все остальные функции неизменными. При этом функционал v[y₁,y₂,…,y_n] превратится в функционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции, например от y_i(х),

рассмотренного ранее функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера

.

Так как это рассуждение применимо к любой функции y_i(i=1,2,…,n) ,то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка

определяющих, вообще говоря, 2n-параметрическое семейство интегральных кривых в пространстве х, y_1, у₂, ..., у_n — семейство экстремалей данной вариационной задачи. Если, в частности, функционал зависит лишь от двух функций у(х) и z (х):

т. е. определяется выбором пространственной кривой у =у (x),

z = z(x) (рис. 2.6), то, варьируя только у(х) и фиксируя z(x),мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости xOz не изменяется, т. е. кривая все время остается на проектирующем цилиндре z = z(x) (рис. 2.7).

Рис. 2.6.

Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя z(х), мы варьируем кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре у = у(х). При этом получаем систему двух уравнений Эйлера:

,

Пример 9. Найти экстремали функционала

,

, .

Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид: у"—z=0, z"—y=0. Исключая одну из неизвестных функций, например z, получаем y^IV — у = 0.

Рис. 2.7.

Интегрируя, это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, будем иметь:

Используя граничные условия, находим: C₁=0, C₂=0, C₃=0 , C₄=1 следовательно, у = sin х, z = - sin х.

Пример 10. Найти экстремали функционала

Система уравнений Эйлера имеет вид

откуда, считая , получим и или y=C₁x+C₂, z=C₃x+C₄— семейство прямых линий в пространстве.

Функционалы, зависящие от производных более

высокого порядка

Исследуем на экстремум функционал

где функцию F будем считать дифференцируемой n + 2 раза по всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия имеют вид:

,

,

т. е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее, производных до порядка n—1 включительно. Предположим, что экстремум достигается на кривой у= у(х), дифференцируемой 2n раз, и пусть у = у(х)— уравнение некоторой кривой сравнения, также дифференцируемой 2n раз.

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций

у (х, ) = у (х)+ [у (х)- у(х)] или у (х, ) =у (х) + у.

При = 0 у(х, ) = у(х), при =1 у(х, ) = (х). Если рассматривать значение функционала v [у (х)] только на кривых семейства у = у (х, ), то функционал превратится в функцию параметра , достигающую экстремума при = 0; следовательно, Эта производная называется вариацией функционала v и обозначается v:

.

Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз:

третье слагаемое — два раза:

последнее слагаемое — n раз:

Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при и при вариации, окончательно получим

при произвольном выборе функции у и так как первый множитель под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же кривой у=у (х), то в силу основной леммы первый множитель тождественно равен нулю:

Итак, функция у = у(х), реализующая экстремум функционала

должна быть решением уравнения

Это дифференциальное уравнение порядка 2n носит название уравнения Эйлера—Пуассона, а его интегральные кривые называются экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2n произвольных постоянных, которые могут быть, вообще говоря, определены из 2n граничных условий:

,

,

Пример 11. Найти экстремаль функционала

, , ,