Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

(2.2)

причем первый множитель кривой у= у(х), реализующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель , ввиду произвола в выборе кривой сравнения у = у(х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условиям, а именно: функция в граничных точках х = х₀ и х = х₁ обращается в нуль, непрерывна и дифференцируема один или несколько раз, или и ' малы по абсолютной величине. Для упрощения полученного условия (2.2) воспользуемся следующей леммой:

Основная лемма вариационного исчисления. Если для каждой непрерывной функции

где функция Ф(х) непрерывна на отрезке [х₀, х], то Ф(х) 0

на том же отрезке.

Замечание. Утверждение леммы и ее доказательство

не изменяются, если на функции (х) наложить следующие ограничения: (х₀)= (х₁)= 0; (х) имеет непрерывные производные до порядка р , .

Доказательство. Предположив, что в точке х = , лежащей на отрезке х₀ <х < х₁, Ф(х) 0, придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции Ф(х) следует, что если Ф(х) 0, то Ф(х) сохраняет знак в некоторой окрестности точки ; но тогда, выбрав функцию (х) также сохраняющей знак в этой окрестности и равной нулю вне этой окрестности (рис. 2.3), получим

Так как произведение Ф(х) (х) сохраняет знак на отрезке и обращается в нуль вне этого отрезка. Мы

пришли к противоречию, следовательно, Ф(х) 0. Функцию

(х) можно выбирать, например, так: (х) = 0 вне отрезка (х)=k(x— )²ⁿ(х— )²ⁿ на отрезке , де n- целое положительное число, k- постоянный множитель. Очевидно, что функция (х) удовлетворяет упомянутым выше условиям: она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2n-1, обращается в нуль в точках х₀ и х, и может сделана по модулю сколь угодно малой вместе со своими производными за счет уменьшения модуля множителя к.

Рис. 2.3.

Замечание. Дословно так же можно доказать, что если функция Ф(х, у) непрерывна в области D на плоскости (х, y) и

При произвольном выборе функции (х, у), удовлетворяющей лишь некоторым общим условиям (непрерывность, дифференцируемость один или несколько раз, обращение в нуль на границах области D, , , ), то

Ф(х, у) 0 в области D, Функцию (х, у) при доказательстве основной леммы можно выбрать, например, так: (х, у) = 0 вне круговой окрестности достаточно малого радиуса точки (х, у), в которой , а в этой окрестности точки (х, у) функция (х, y) = k [(х — )² + (у — )² — ²]²ⁿ (рис. 2.4). Аналогичная лемма справедлива и для n-кратных интегралов.

Применим теперь основную лемму для упрощения полученного выше необходимого условия (2.2) экстремума простейшего функционала (2.1)

Все условия леммы выполнены: на кривой, реализующей экстремум, множитель является непрерывной функцией, а вариация является произвольной функцией, на которую наложены лишь предусмотренные в основной лемме ограничения общего характера, следовательно =0 на кривой у = у(х), реализующей экстремум рассматриваемого функционала, т. е. у=у(х) является решением дифференциального уравнения второго порядка

,

Рис. 2.4.

Это уравнение называется уравнением Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера у=у(х,С₁,С₂) называются экстремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала

Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (2.1), интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе у(х₀)=у₀, у(х₁)=у₁. Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функционала. Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.

Напомним, что краевая задача

, у(х₀)=у₀, у(х₁)=у₁

не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным. Во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи, и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.

Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал

,

Уравнение Эйлера имеет вид у"-6х=0, откуда y=x³+C₁x+C₂. Используя граничные условия, получаем: С₁ =0, С₂ = 0; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = х³.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

Уравнение Эйлера имеет вид F_y(x, у) = 0, так как F_y’ 0.

Решение полученного конечного уравнения F_y(x, у) = 0 не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям y(x₀) = y₀ и у(х₁) = у₁. Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая F_y(x, у) = 0. Проходит через граничные точки (x₀,y₀) и (x₁,y₁), существует кривая, на которой достигается экстремум.

F не зависит от у': F = F(x, у).

Уравнение Эйлера имеет вид F_y(x, у) = 0, так как F_y’ 0.

Решение полученного конечного уравнения F_y(x, у) = 0 не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям y(x₀) = y₀ и у(х₁) = у₁.

Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая F_y(x, у) = 0

Пример 2.

y(0)=0, y(1)=a.

Уравнение Эйлера имеет вид или у-х=0.

Первое граничное условие у(0)= 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же , то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

Пример 3.

. или

Уравнение Эйлера превращается в тождество . Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:

,

по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.

F зависит лишь от у': F = F (у').

Уравнение Эйлера имеет вид F_y’y’ y’’= 0, так как F_y=F_xy’=F_yy’=0. Отсюда у" = 0 или F_y’y’= 0. Если у" = 0, то

у = С₁x+С₂— двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение F_y’y’(у') = 0 имеет один или несколько действительных корней у' = k_i, то у = k_iх+С, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся в полученном выше двухпараметрическом семействе у = С₁x + С₂. Таким образом, в случае F=F(у') экстремалями являются всевозможные прямые линии у=С₁x+С₂.

Пример 4. Длина дуги кривой

имеет экстремалями прямые линии у = С₁x + С₂

Пример 5. Время t[у(х)], затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой у=у(х) из точки А(х₀, у₀) в точку В (х₁, у₁), если скорость зависит только от у', является функционалом вида. Следовательно, экстремалями этого функционала являются прямые линии.

F зависит лишь от х и у':F = F(x, у').

Уравнение Эйлера приобретает вид F_y’(х, у') = 0 и, следовательно, имеет первый интеграл. F_y’(х, у')= С₁, причем так как полученное уравнение первого порядка F_y’(х, у')= С₁ не содержит у, то уравнение может быть проинтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования, или путем введения подходящим образом выбранного параметра.

Пример 6. Функционал

(t — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у = у (х) из одной точки в другую, если скорость движения v = х, так как если , то и

.

Первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид .

Это уравнение проще всего интегрируется, если ввести параметр, полагая у' = tg t; тогда

, где

,

интегрируя, получаем . Итак, , или, исключая t, получаем x² - (у-C₂)² = —семейство окружностей с центрами на оси ординат.

F зависит лишь от у и у': F = F(y, у').

Уравнение Эйлера имеет вид: так как F_xy' = 0. Если умножить почленно это уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную. Действительно,

Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл , причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра.