Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

2. Вариационное исчисление

   1. Функционал

Кроме задач, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции z= f(x), в задачах физики возникает необходимость найти максимальные или минимальные значения величин, называемых функционалами.

Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций.

Например, функционалом является длина l дуги плоской (или пространственной) кривой, соединяющей две заданные точки А(х₀,у₀) и B(x₀, у₀) (см. рис. A). Величина l может быть вычислена, если задано уравнение кривой у = у(х); тогда

Рис. A.

Площадь S некоторой поверхности также является функционалом, так как она определяется выбором поверхности, т. е. выбором функции z (х, у), входящей в уравнение поверхности z = z (х, у). Как известно,

где D — проекция поверхности на плоскость Оху.

Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести некоторой однородной кривой или поверхности также являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой или поверхности.

Во всех этих примерах характерная для функционалов зависимость: функции (или вектор-функции) соответствует число, в то время как при задании функции z= f(х) числу соответствовало число.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами.

Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи:

Задача о брахистохроне. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската—брахистохроне. В этой задаче требуется определить линию, соединяющую две заданные точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А в точку В в кратчайшее время (рис. Б).

Рис. Б.

Легко видеть, что линией быстрейшего ската не будет прямая, соединяющая точки А и В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точками А и В, так как при движении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем кривую, более круто спускающуюся около точки А вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с большей скоростью. Решение задачи о брахистохроне было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида.

Задача о геодезических линиях. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности (х, у, z) = 0 (рис. В). Такие кратчайшие линии

В этом случае функция является решением уравнения

и удовлетворяет граничному условию

Частные решения нашего уравнения будут вида

Первое уравнение с помощью замены переменной приводится к уравнению Лежандра

Поэтому уравнение имеет решения, ограниченные в точках только при , и этими решениями являются функции - многочлен Лежандра n-ого порядка. Второе уравнение при имеет решение ограниченное в точке . Следовательно, частные решения уравнения , ограниченные при , имеют вид

Дирихле в этом случае находится в виде ряда

Коэффициенты этого ряда находятся так, чтобы выполнялось граничное условие. Полагая в равенстве , получим

Рис. B.

называются геодезическими. Имеем типичную вариационную задачу на так называемый связанный или условный экстремум.

Необходимо найти минимум функционала

причем функции у (х) и z (х) должны быть подчинены условию. Эта задача была решена в 1698 году Я. Бернулли. Общий метод решения задач такого типа был изложен в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.

Изопериметрическая задача. Требуется найти замкнутую линию заданной длины l, ограничивающую максимальную площадь S. Такой линией, как было известно еще в древней Греции, является окружность. В этой задаче требуется определить экстремум функционала S при наличии своеобразного дополнительного условия—длина кривой должна быть постоянна, т. е. функционал

сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называются изопериметрическими. Общие методы решения задач с изопериметрическими условиями были разработаны Л. Эйлером.

Ниже излагаются методы решения различных вариационных задач, где в основном исследуются на экстремум следующие часто встречающиеся в приложениях функционалы:

в которых функции заданы, а функции являются аргументами функционалов.

2.2. Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал

(2.1)

причем граничные точки допустимых кривых закреплены:

у(х₀) = у₀ и у(х₁) = у₁ (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Функцию F(x, у, у') будем считать трижды дифференцируемой. Необходимым условием экстремума является обращение в нуль вариации функционала. Покажем, как применяется эта основная теорема к рассматриваемому функционалу, причем мы еще раз повторим предыдущее рассуждение применительно к функционалу (2.1). Предположим, что экстремум достигается на дважды дифференцируемой кривой у = у (х) (требуя лишь существования производных первого порядка у допустимых кривых, можно иным методом доказать, что у кривой, реализующей экстремум, существует и вторая производная).

Возьмем какую-нибудь близкую к у = у(х) допустимую кривую у = (х) и включим кривые у = у (х) и у = (х) в однопараметрическое семейство кривых

при = 0 получим кривую у = у (х), при = 1 имеем

(рис. 2.2). Как мы уже знаем, разность называется вариацией функции у(х) и обозначается .

Рис. 2.2

Вариация в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли приращения независимого переменного в задачах на исследование экстремумов функций f(х). Вариация функции является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один или несколько раз, причем

, т. е. производная вариации равна вариации производной, и аналогично

………………………….

Рассмотрим семейство у = у(х, ), где у(х, ) = у(х)+ , содержащее при = 0 кривую, на которой достигается экстремум, а при = 1 — некоторую близкую допустимую кривую — так называемую кривую сравнения. Если рассматривать значения функционала

только на кривых семейства у=у(х, ), то функционал превращается в функцию: , так как значение параметра определяет кривую семейства у = у(х, ) и тем самым определяет и значение функционала v[у(х, )]. Функция ( ) достигает своего экстремума при =0, так как при =0 получаем у=у(х) , и функционал, по предположению, достигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой кривой и, в частности, по отношению к близким кривым семейства у = у (х, ). Необходимым условием экстремума функции ( ) при = 0, как известно, является обращение в нуль ее производной при = 0: '(0) = 0. Так как

Вычислим производную:

где , и

,

получим

'(0) называется вариацией функционала и обозначается .

Необходимое условие экстремума функционала v заключается в обращении в нуль его вариации: = 0. Для функционала:

это условие имеет вид:

Интегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что у' = ( у)', получим

Так как

(допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки). Необходимое условие экстремума приобретает вид: