Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

Рис. 1.3.

начальным условиям

и граничному условию (рис.1.3) .

В полярных координатах эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию удовлетворяющую в круге дифференциальному уравнению

начальным условиям

и граничному условию

Рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальные отклонения и начальные скорости не зависят от переменной . Это означает, что точки, одинаково удаленные от центра мембраны, в начальный момент времени имеют одинаковые отклонения и одинаковые скорости. В этом случае и при t>0 отклонение точек мембраны не будет зависеть от переменной . Таким образом, рассматривается следующая задача. Найти функцию удовлетворяющую в круге дифференциальному уравнению

начальным условиям

и граничному условию

_{Для решения этой задачи используем метод разделения переменных. Найдем сначала ненулевые решения нашего уравнения , удовлетворяющие только граничному условию . Эти решения будем искать в виде} где

Дифференцируя функцию и подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение, получим или

Отсюда следует, что

(***)

Уравнение можно записать в виде

Следовательно, это уравнение является уравнением Бесселя с n=0. Поэтому на отрезке [0,R] при n=0. Сделаем в уравнении замену независимой переменной тогда В результате этой замены уравнение примет вид:

Требуется найти ненулевые решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие на отрезке [0,1] граничным условиям: Ненулевые решения, удовлетворяющие условию , существуют только при где положительные решения уравнения и эти решения имеют вид Наша задача имеет ненулевые решения только при и эти решения имеют вид Подставляя значения в уравнение (***) и решая полученное уравнение, находим что Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений уравнения , удовлетворяющих граничному условию

Решение исходной задачи будем искать в виде

где , подбираются таким образом, чтобы выполнялись начальные условия . Имеем

Полагая в этих равенствах t=0, получим

Обозначим в этих формулах Тогда Отсюда следует, что

или, если в интегралах сделать замену переменной то

2. Уравнения параболического типа.

Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (х, у, x) в момент времени t определяется функцией

u(х, у, z, t). Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым. Тогда можно получить уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела. Если тело однородно, то γ, ρ и к — постоянные и уравнение можно переписать в виде

где

Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т е. F(x, у, z, t) = 0, то получим однородное уравнение теплопроводности

В частном случае, когда температура зависит только от координат х, у и t, уравнение переходит в следующее:

Наконец, для тела линейного размера, например для тонкого однородного стержня, уравнение теплопроводности примет вид:

Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного основного уравнения . Необходимо, как это следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе S тела (граничное условие).

Решение задачи теплопроводности

бесконечного стержня

Пусть в стержне бесконечной длинны задано начальное распределение температур. Требуется найти температуру в любой точке в любой момент времени Это означает, что требуется найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Пусть преобразования Фурье по переменной х функций ,

тогда

Применяя преобразование Фурье к левой и правой части основного уравнения и начального условия , приходим к следующей задаче. Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию Решение этой задачи имеет вид Искомая функция находится с помощью обратного преобразования Фурье: или

где то есть

Вычислим интеграл . Имеем

Функция - четная, а функция - нечетная по переменной . Поэтому Следовательно В последнем интеграле сделаем замену переменной и обозначим получим

Положим

Тогда

Так как (интеграл Пуассона), то функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальному условию Решение этой задачи Таким образом, следовательно