Документ: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А, страницы 36-40

©Аверин А. Н., 2020

пропорциональности - . Движение нагрузки происходит с постоянной скоростью V , и её

контакт с нитью осуществляется через колесные пары. Считается, что отрыв колесных пар от поверхности нити не происходит.

Жесткая нить представляет собой шарнирно стержневую цепь, состоящую из отдельных, соединенных между собой шарнирами и упругими вставками элементов [1, 2, 3] (рис. 2).


				Рис. 2. Дискретная модель жесткой нити
		Для геометрических и механических характеристик жесткой нити приняты
следующие обозначения:				L0 - начальная длина нити,			(x0, y0),(xn , yn) - координаты точек
закрепления нити, (xi , yi)				- координаты i -го узла цепи,			n - число дискретных элементов,
l	0	L / n	- начальная длина элементов нити,		F , J	- площадь и момент инерции поперечного
		0
сечения,			E - модуль упругости материала,		EF, EJ	- жесткость нити на растяжение и изгиб.

Все нагрузки, действующие на нить, и погонная масса элементов приводятся в узлы. Жесткая нить имеет начальное натяжение. Предварительное натяжение в нити достигается заданием

длины начальной заготовки	L	меньше расстояния между точками закрепления
	0

L	(x	x	)	2	( y	y	k	)	2

	n	k			n

.

2. Уравнение движения системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка»

Уравнение движения системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка» получим из условий равновесия отдельных элементов системы в произвольный момент времени t с учетом сил инерции (рис. 3).

35

Рис. 3. К выводу уравнений движения

Для подвижной нагрузки имеем систему двух дифференциальных уравнений

		d		2
M		d				u(t) R1	R2	Mg ,
M		dt			2	u(t) R1	R2	Mg ,
					2

d	2
d			(t) R1 d1 R2 d 2 0 .
dt		2	(t) R1 d1 R2 d 2 0 .
		2

(1)

В уравнениях (1) через	R , R		обозначены реакции рессор, значения которых зависят от
	1	2


линейных и угловых перемещений тележки							u(t), (t) , а также от величины вертикальных
перемещений нити	Y	(t)	,	Y	(t)	в точках контакта [4, 5].
перемещений нити	1		,		2	в точках контакта [4, 5].

R1 c1(u(t) (t)d1	Y1(t)) (		d	(u(t) (t)d1 Y1(t))) ,
		dt

R2 c2 (u(t) (t)d2	Y 2(t)) (		d	(u(t) (t)d2 Y 2(t))) .
			dt

Звено цепи не изгибается, следовательно, перемещения точек контакта

выражаются линейно через вертикальные перемещения узлов звена цепи, расположена колесная пара:

Y1

на

(2)

(t)	,	Y	(t)
	,		2

котором

Y	j	( (t))
	j

x	(t)	y	(t) x
i				i 1
x	x	i 1	x	x

i	i 1		i	i 1

yi

,

x	(t)
i 1

xi

.

(3)

Так как отрыв колесных пар от поверхности нити не происходит, то массы колесных

m	m	2 ) в различные моменты времени присоединяются к узловым массам нити. При
пар ( 1 и
расположении точек контакта тележки в пределах					i	-го и (i 1) -го звеньев к узловым массам

				l		F m			l	F m	m ,
нити присоединяются массы колесных пар m				l		F m	, m		l	F m	m ,
			i 1		0	2		i	0	2	1



m
	i 1

l	F m
0	1 .

Уравнения равновесия узлов жесткой нити имеют вид

d

2

x

i

N

cos(

) N

cos(

) Q sin(

) Q

sin(

) P

i

i 1

m

,

i

i 1

x

i

dt

2

d

2

y

i

N

i

)

N

i 1

sin(

i 1

i

i 1

cos(

i 1

y

i

,( i 1,2,.., n 1).

sin(

) Q cos(

) Q

) P

i

m

2

dt

(4)

В уравнениях (4) через Pxi , Pyi обозначены веса нити и реакции в рессорах включены в

составляющие узловых сил (силы собственного

Py	).
	i

Выразим длину i -го звена цепи и направляющие косинусы через координаты узлов:

)

xi xi 1

)

yi yi 1

.

(5)

l

(x

x

)2 ( y

y

)2 ) , cos(

, sin(

i

i 1

i

i 1

i

li

i

li

Продольную силу

N

i

в звене цепи и ее проекции на координатные оси выразим через

деформации по закону Гука [6]:

(l

l

)

l

Ni EF

i

0

EF(

i

1) ,

l

0

N

i

cos(

) N

i

xi xi 1

EF(

1

)(x x

) ,

(6)

i

li

l0

i i 1

li

36

N

sin(

) EF(

1

)( y

y

) ,

i

l0

li

i

i 1

( i 1,2,.., n ).

После подстановки (6) в (4) будем иметь

EF[(

1

)(x

x ))

(

1

)(x

x

1

)]

l

i 1

i

l

i

0

~

d

2

x

i

Q sin(

) Q

sin(

) P

,

i

i 1

m

i

i 1

x

i

2

i

dt

EF[(

1

)( y

y ))

(

1

)( y

y

1

)]

l

i

1

i 1

i

l

i

0

,

d

2

y

~

i

Q cos(

) Q

cos(

) P

i

i 1

m

i

i 1

y

i

dt

2

( i 1,2,.., n 1).

Полагая в уравнения (7)

Q

0

, приходим к уравнениям колебаний гибкой нити [7, 8] :

i

EF[(

1

)(x

x )) (

1

)(x

x

)]

l

x )

2

( y

y

2

i 1

i

l

x

2

( y

y

2

i

i 1

(x

)

(x

)

0

i 1

i

i 1

i

i 1

i

i 1

~

d

2

x

i

P

,

m

x

i

dt

2

(7)

EF[(

1

)( y

y )) (

1

l

(x

x )

2

( y

y )

2

)

i 1

i

l

0

1

0

i

i 1

i

d

2

y

P

m

i

y

i

dt

2

i

				1

(x x		)	2	( y
(x x		)		( y
i	i 1			i

				)( y y		)]
y	)	2	)	i	i 1
		2

i 1

,

(8)

( i 1,2,.., n 1).

Решение уравнений гибкой нити (8) используется в дальнейшем в качестве начального приближения при расчете жесткой нити.

Выполним дальнейшие преобразования уравнений (7). Поперечная сила в пределах i -го звена цепи выражается через изгибающие моменты в упругих в ставках:

Q (M	i	M	i 1
i

После подстановки (9) в (7) с учетом (5)

) / li , ( i 1,2,.., n ).

получим

(9)

EF[(

1

)(x

x ))

(

1

)(x

x

)]

l

i 1

i

l

i

i 1

0

M

i

M

i 1

M

i 1

M

i

~

d

2

x

i

( y

y

)

( y

y ) P

,

m

l

2

i

i 1

l

2

i 1

i

x

i

dt

2

i

i 1

EF[(

1

)( y

y ))

(

1

)( y

y

)]

l

i 1

i

l

i

i 1

i

0

,

M M

M

d

2

y

1

(x x

)

i 1

(x

x ) P

m

i

i 1

l

2

i

l

2

i

y

i

dt

2

i

i 1

( i 1,2,.., n 1).

(10)

37

Изгибающий момент в упругой вставке

M (x	,
i

y	)
i

выразим

через кривизну дуги

окружности, проходящей через три точки

Запишем уравнения окружности радиусом	r
точек:

с координатами (xi 1, yi 1 ), (xi , yi ), (xi 1, yi 1) . с центром в точке ( X c ,Yc ) для каждой из трех

,

(11)

.

Вычитаем второе уравнение системы (11) из первого, а затем второе уравнение из третьего. В результате получаем систему двух линейных уравнений относительно координат

центра окружности

( X

c

,Y )

.

c

2(x

x ) X

2( y

y )Y x

2

x

2

y

2

y

2

;

c

i 1

i

i 1

i

c

i 1

i

i 1

i

2(x

x

) X

2( y y

)Y x

2

x

2

y

2

y

2

.

c

i.

i 1

i

i 1

c

i

i 1

i

i 1

Решаем систему уравнений (12), находим

координаты центра окружности

( X	c	,Y	)
	c	c

:

(12)

( y

y

)(x

2

x

2

y

2

y

2

) ( y

y )(x

2

x

2

y

2

y

2

)

X c

i

i 1

i

i 1

i

i 1

i

i 1

i

i 1

i

,

2((x

x )( y

y

) (x

x

)( y

y ))

i 1

i

i 1

i

i 1

i

(x

x )(x

2

x

2

y

2

y

2

)

(x x

)(x

2

x

2

y

2

y

2

)

1

Yc

i 1

i

i 1

i

i 1

i

i 1

i

.

2((x

x )( y

y

1

) (x

x

)( y

y ))

i 1

i

i 1

i

Радиус ri дуги окружности определим как расстояние между точками

( X c ,Yc ) , (xi ,

ri

(Xc xi )

2

(Yc

yi )

2

.

По закону Гука, изгибающий момент

M (x

, y )

прямо пропорционален кривизне

1

i

(13)

yi ) :

(14)

/ ri :

M (x	, y )	EJ	(15)
M (x	, y )
i	i	r
		i
Подстановка (15) в уравнения (7) с учетом			(14), (13) приводит к системе уравнений

относительно координат узлов цепи.

Таким образом, дифференциальные уравнения движения системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка» можно записать в виде

где

M , C

	d	2			d
M	d			U (t) C	d	U (t) F (U (t)) R(t)		,
			2		dt			,

	dt
	dt
						T	- вектор-функция обобщенных
U (t) [x1(t), y1(t),..., xn 1(t), yn 1(t),u(t), (t)]							- вектор-функция обобщенных

- матрицы масс и демпфирования, F (U (t)) – вектор-функция сил упругости,

(16)

координат, R(t) - вектор

внешней узловой нагрузки.

Численное решение уравнений (16) выполняется с использованием абсолютно устойчивого метода прямого интегрирования – метода трапеции. В этом случае шаг интегрирования не имеет критического значения и может назначаться из соображений требуемой точности решения и с учетом периодов свободных колебаний системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка».

3. Частоты и формы свободных колебаний системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка»

38

Рассмотрим свободные колебания жесткой нити вблизи статического положения равновесия при действии постоянной и временной нагрузок. Постоянная нагрузка - это силы собственного веса нити.

Временная нагрузка задавалась системой двух грузов весом 13 кН каждый, расположенных на расстоянии 4 м. При перемещении системы грузов их масса приводится по правилу рычага в узлы цепи.

Расчет выполнялся при следующих параметрах жесткой нити: модуль упругости

материала

E 2,1 10	8

кН/м2, площадь

A

3,515

10	3

м2,

жесткость на растяжение

EA 7,382 10	5

кН, момент инерции

J 0,7545 10	5

м4, изгибная жесткость

EJ 1584,45

кНм2.

Длина пролета

Lp

40

м. Число звеньев цепи

n

60

. Начальная относительная деформация

нити

	0

0, 6

%

, начальная длина нити

L	39,76
0

м.

Методика вывода разрешающих уравнений для расчета свободных колебаний геометрически нелинейных систем вблизи статического положения равновесия изложена в

[9,10].

На рис. 4 показаны формы и частоты (периоды) свободных колебаний жесткой нити вблизи статического положения равновесия от постоянной нагрузки. Красным цветом отмечена форма статического равновесия, малиновым - форма колебаний.

На рис. 5 показаны формы свободных колебаний жесткой нити вблизи положения статического равновесия при действии постоянной и временной нагрузок. Временная нагрузка приложена левее середины пролета нити (рис. 5).

39

Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А

Смотрите также: