Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А
38.Kimiaeifar A. et al. Analytical solution for large deflections of a cantilever beam under nonconservative load based on homotopy analysis method. Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2011. V. 27. No. 3. Pp. 541-553.
39.Beléndez T., Neipp C., Beléndez A. Large and small deflections of a cantilever beam . European journal of physics. 2002. V. 23. No. 3. Pp. 371.
40.Holden J. T. On the finite deflections of thin beams . International Journal of Solids and Structures. 1972. V. 8. No. 8. Pp. 1051-1055
ANALYTICAL CALCULATION OF THE DEPENDENCE OF CANTILEVER RACK DEFORMATIONS ON THE NUMBER OF PANELS IN THE MAPLE SYSTEM
S. V. Terze1
National Research University "МPEI"1
Мoscow, Russia
1Student, tel.: +7(909)650-81-04; e-мail: sergeyyterze@rambler.ru
The rack and cantilever of a flat statically defined truss have a simple diagonal grid. One support is fixed, the other is movable. The deflection of the cantilever end is calculated using the Maxwell – Mohr formula in analytical form for the load distributed over the lower belt of the cantilever and concentrated one. Solutions for trusses with a different number of panels in the cantilever and rack by double induction generalized to an arbitrary number of panels. An asymptotic analysis of the solution is performed. To obtain forces in symbolic form and solve recurrent equations that satisfy the coefficients of the desired formulas, the apparatus of symbolic transformations of the Maple system is used. The solution includes seven geometric parameters of the structure, the elastic modulus of the rods and the load.
Keywords: truss, induction, Maple, console, deflection.
25
УДК 624.04
ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ПРОГИБА ШПРЕНГЕЛЬНОЙ БАЛОЧНОЙ ФЕРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПАНЕЛЕЙ В СИСТЕМЕ MAPLE
И. Б. Суд1
Национальный исследовательский университет "МЭИ"1 Россия, г. Москва
1Студент, тел.: +7(903)004-88-55; e-мail: SudIB@mpei.ru
Приводится вывод формул для прогиба плоской шпренгельной статически определимой фермы в зависимости от числа панелей. Вычисление прогиба середины пролета на основе аналитических выражений для усилий, полученных по программе в системе компьютерной математики Maple, выполнено с использованием интеграла Мора. Обобщение ряда формул для ферм с различным, последовательно увеличивающимся числом панелей, произведено методом индукции. Использован аппарат составления и решения линейных однородных рекуррентных уравнений. Найдена линейная асимптотика решения. Изучено влияние соотношения высоты фермы к высоте ее шпренгельной (верхней) части на жесткость конструкции.
Ключевые слова: ферма, индукция, Maple, прогиб, интеграл Мора.
Введение
Фермы балочного типа широко применяются в строительстве и машиностроении как основные и вспомогательные несущие конструкции. Одной из важнейших характеристик фермы является ее жесткость. Простейшие модели ферм имеют шарнирное крепление стержней, обеспечивающее статическую определимость. Несмотря на это, непосредственный расчет усилий в таких фермах не всегда возможен. Особенно это касается ферм шпренгельного типа, где метод сечений не работает. Численные расчеты в стандартных программах для определения напряженно-деформированного состояния фермы с увеличением числа панелей могут давать погрешности за счет накопления ошибок округления. В любом случае, простые формулы для расчета прогиба всегда полезны, однако не всегда такие формулы настолько универсальны, чтобы не просто тестировать численные решения, но и позволять проводить качественный анализ конструкций математическими методами. В частности, как правило, простые формулы для расчета прогиба не учитывали конфигурацию решетки (формула Качурина [1,2]) и выводились на основе моделирования балочной фермы путем замены ее на балку такой же жесткости. С появлением систем компьютерной математики появилась возможность вывода точных формул для прогиба ферм с любым числом панелей, что исключает эффект накопления ошибок округления. Наряду с методом непосредственного расчета фермы с параметрическим заданием числа панелей [3] в тех случаях, когда для расчета усилий в стержнях можно использовать метод сечения и метод поэтапного вырезания узлов, для вывода аналитических решений применяется метод индукции. Этим методом были получены формулы для прогиба плоских ферм арочного типа [4-8], рам [9-13], решетчатых ферм с различными схемами решеток [14-20] и некоторых регулярных пространственных ферм [21-23]. Метод применим и для частотного анализа стержневых конструкций [24-31].
В настоящей работе приводится вывод формул прогиба для балочной фермы шпренгельного типа (рис. 1).
Схема фермы и расчет усилий
Верхний пояс фермы, подверженный сжатию, состоит из укороченных стержней длиной a. Это обеспечивает больший запас устойчивости конструкции. В ферме n=2k панелей.
________________
© Суд И. Б., 2020
26
Каждая панель состоит из двух стержней верхнего пояса, стержня нижнего пояса длиной 2a, стойки высотой f и четырех раскосов. Общая высота фермы f+h. Средняя стойка имеет высоту h+f.
Расчет прогиба конструкции начинается с определения усилий в стержнях. Используется программа, составленная для решения данной задачи в системе символьной математики Maple.
Рис. 1. Ферма под действием равномерной нагрузки, k=4
Стержни и узлы фермы нумеруются (рис. 2). Координаты шарниров вводятся в
циклах. На языке Maple это имеет вид:
> for i to 2*n+1 do x[i]:=(i-1)*a; y[i]:=h+f; od:
> for i to n+2 do x[i+2*n+1]:=(i-1)*2*a-a; y[i+2*n+1]:=h; od: > for i to n+1 do x[i+3*n+3]:=(i-1)*2*a; y[i+3*n+3]:=0; od:
Рис. 2. Нумерация узлов и стержней, n=4
Схема решетки в программе задается специальными упорядоченными списками N[i] номеров концов соответствующих стержней. Выбор начала и конца стержня не влияет на величину усилия или его знак. Ввод решетки напоминает задание графа в дискретной математике:
for i to 2*n do N[i]:=[i,i+1];od: for i to n do
N[i+2*n]:=[3*n+3+i,i+3*n+4]; N[i+7*n+4]:=[2*n+2+i,2*i]; od:
for i to n+1 do N[i+3*n]:=[2*i-1,i+2*n+1]; N[i+4*n+1]:=[2*i-1,i+2*n+2]; N[i+5*n+2]:=[i+3*n+3,i+2*n+2]; N[i+6*n+3]:=[i+3*n+3,i+2*n+1]; od:
N[8*n+5]:=[n+1,3*n+k+4]:
27
По данным координат и номеров концов стержней составляется матрица системы уравнений равновесия узлов. Решение системы одновременно дает и усилия в стержнях и реакции опор (с обратным знаком). Значения усилий используются в интеграле Мора
m 3 |
S |
s l |
|
|
j |
j |
j |
|
|||
j 1 |
EF |
|
|
|
|
|
|
где m = 8(n+1) — число стержней, включая
, |
(1) |
три опорных стержня (два стержня на
неподвижную опору, один - на подвижную), EF — жесткость стержней,
S j
– усилия в
стержнях от действия внешней нагрузки, |
s |
j |
– |
усилия от безразмерной единичной силы, |
|
|
|
||||
приложенной к узлу в середине пролета, |
l |
j |
|
– |
длина стержня с номером j. Три опорных |
|
|
||||
стержня, принятые жесткими, в сумму не входят (бесконечная жесткость).
Прогиб
Расчет ряда ферм с разным числом панелей показал, что итоговая формула для прогиба имеет один и тот же вид, не зависящий от числа панелей. При действии распределенной нагрузки имеем
3 |
h C |
a |
3 |
f C |
(g |
3 |
3 |
) f C |
|
f |
2 |
2 |
) |
|
EF P(C a |
|
|
c |
4 |
|
h(h f )) / (2 f (h f ) |
, |
|||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты формулы зависят только от числа k панелей в половине пролета. Методом индукции, обработкой серии решений для 14 ферм, получаем следующие коэффициенты:
C ( 2k |
2 |
2( 1) |
k |
k |
2k ( 1) |
k |
1) / 2 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
(40k 4 |
80k3 62k 2 |
6( 1)k k 22k 3( 1)k 3) / 6 , |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
(4k |
2 |
4k 1) / 2 |
, |
C |
|
( 1) |
k |
. |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рекуррентное уравнение для коэффициента C1 |
, полученное оператором rgf_findrecur, |
|||||||||||||||
имеет вид:
C1,k C1,k 1 2C1,k 2 2C1,k 3 C1,k 4 C1,k 5 .
Уравнение для коэффициента C2 |
имеет вид |
|
|
|
|||||||
C |
2,k |
3C |
2,k 1 |
C |
2,k 2 |
5C |
5C |
C |
3C |
C |
|
|
|
|
|
2,k 3 |
2,k 4 |
2,k 5 |
2,k 6 |
2,k 7 |
|||
Уравнение для коэффициента C3 |
: |
|
|
|
|
||||||
C3,k 3C3,k 1 3C3,k 2 C3,k 3 . |
|
|
|
|
|||||||
Самым простым уравнением оказалось уравнение для коэффициента
.
C4 :
C |
4,k |
C |
4,k 1 . |
|
|
Прогиб в случае сосредоточенной в середине ожидать, имеет более простой вид:
|
|
EF |
(C a |
3 |
C |
(g |
3 |
3 |
) 2( f |
2 |
h |
|
|
|
|
c |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где C (16k3 |
24k 2 |
8k) / 3 |
, C |
2k 1. |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f
фермы
3 |
)) / (2( |
|
нагрузки, как и следовало
h f ) |
2 |
) |
|
||
|
|
, |
28
Проанализируем полученное решение в случае действия распределенной нагрузки. Построим графики зависимости относительного прогиба ' EF / (P0L) , где
P P0 / (2n 1) от высоты h при фиксированной высоте f+h=10 м для разного числа панелей k. Фиксируем пролет фермы L=2(n+1)=70 м (рис. 3).
Рис. 3. Зависимость прогиба от высоты h при разном числе панелей k, h+f = 10 м, L=70 м.
1 – k=3; 2 – k=4; 3 – k=5
Интересно отметить сильную зависимость решения от числа панелей. Минимум прогиба во всех трех случаях наблюдается при одинаковых размерах f=h. При небольшом числе панелей и, следовательно, достаточно длинных стержнях поясов, наибольшая жесткость наблюдается при больших значениях h и малых значениях f.
Зависимость прогиба от числа панелей, при разных h, представлена кривыми на рис. 4. На первый взгляд проявляется устойчивая тенденция к уменьшению прогиба с ростом k. Однако асимптотика решения линейна и положительна:
lim '/ k ( f 2 |
hf h2 ) / (2(h f )L) |
k |
|
Рис. 4. Зависимость прогиба от числа панелей k при разной высоте h, f=3 м, L=70 м.
1—h=1 м; 2—h=1.5 м; 3—h=2 м.
29