Материал: Строительная механика и конструкции. Сафронов В.С., Козлов А
Рис. 4 (начало) |
Рис. 5 (начало) |
Рис.4 (окончание) |
Рис. 5 (окончание) |
Заметим, что при перемещении временной нагрузки вдоль нити симметричное загружение нити возникает только один раз. Поэтому формы свободных колебаний относительно статического положения равновесия при действии постоянной и временной нагрузок не будут симметричными или кососимметричными, как это имеет место в формах свободных колебаний при действии постоянной нагрузки. При совместном действии постоянной и временной нагрузок изменяется форма статического равновесия и соотношение между ординатами формы свободных колебаний. Число узловых точек в форме свободных колебаний сохраняется (под узловыми точками мы понимаем точки пересечения кривых статического равновесия и формы колебаний).
Графики изменения частот свободных колебаний в зависимости от положения подвижной нагрузки представлены на рис. 6.
Рис. 6. Изменение частот свободных колебаний при различном положении временной нагрузки
Анализ представленных результатов указывает на сильную связанность колебаний подрессоренной нагрузки и жесткой нити. При расположении временной нагрузки в середине пролета имеет место существенное снижение первой собственной частоты
40
(увеличение периода). Снижение второй собственной частоты наблюдается при расположении нагрузки в четвертях пролета и в середине. Для третьей частоты имеет место снижение частоты при расположении нагрузки в первой и второй четвертях пролета и сравнительный рост при перемещении нагрузки в окрестности середины пролета (кривая имеет три локальных экстремума). Для четвертой и пятой частот характерен волнообразный характер изменения. Кривая изменения 4-й частоты имеет пять локальных экстремумов, а кривая изменения 5-й частоты имеет семь локальных экстремумов. Отметим, что в точках
x 16 м
кратные
и x 24
частоты.
м кривые изменения 4-й и 5-й частот сближаются, то есть появляются
4. Неявная схема прямого интегрирования, численные исследования
Интегрирование уравнений (16) выполним с использованием неявного метода трапеции [11, 12]:
где
(4 |
M |
2 |
C |
)U (t ) F (U (t )) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
M |
|
|
C |
|
M |
|
dU (t) |
|
d 2U (t) |
||||
(4 |
2 |
)U (t) (4 |
C) |
M |
R(t ), |
||||||||||
2 |
|
|
|
dt2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||
шаг интегрирования.
Для того чтобы получить решение U (t ) на временном слое t
(17)
, необходимо решить
систему нелинейных алгебраических уравнений. Решение
выполним методом Ньютона. Для этого вектор-функцию |
F |
|||||||||||||||||||||||
В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(4 |
M |
2 |
C |
J (U |
|
(t ))) (U |
(t ) U |
|
(t )) (4 |
M |
2 |
|||||||||||||
|
2 |
|
i 1 |
i 1 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (U |
|
(t )) (4 |
M |
2 |
C |
) U |
|
(t) (4 |
M |
C) |
dU |
i 1 |
(t) |
M |
||||||||||
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
системы нелинейных уравнений
(U (t ) |
разложим в ряд Тейлора. |
C |
) U |
|
|
(t ) |
|
|||
t |
i 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(18) |
||
|
|
2 |
|
|
(t) |
|
||
|
d U |
i 1 |
R(t |
), |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где J (Ui 1(t )) - матрица приближения к решениюUi
Якоби
1(t ) .
вектор-функции |
F(U (t )) |
в точке |
начального |
|
Матрица Якоби |
J (Ui 1(t )) |
- |
симметричная, |
|
положительно определенная. Таким образом, на каждом шаге интегрирования по времени производится итерационный цикл решения нелинейной системы алгебраических уравнений. Начальное приближение к решению задается с предыдущего временного слоя. Итерационный цикл завершается по достижении заданной точности решения системы
|
U |
(t ) U |
i 1 |
(t ) |
|
|
|
||||
|
i |
|
|
|
.
Схема неявного интегрирования (18) является абсолютно устойчивой, поэтому шаг
интегрирования |
|
не имеет критического значения и может выбираться из соображений |
требуемой точности решения и с учетом периодов свободных колебаний системы.
Частоты (периоды) свободных колебаний системы «Жесткая нить + подвижная нагрузка» определяются вблизи статического положения равновесия от постоянной и
временной нагрузок (при различном положении временной нагрузки). |
|
|
Матрица демпфирования C в уравнении (16) предназначена для |
аппроксимации |
|
диссипации энергии при колебаниях системы. В общем случае матрица |
С |
не является |
|
|
|
линейной комбинацией матриц масс и жесткости. Для систем, в которых нельзя не учитывать демпфирование, а опытные данные о задании матрицы демпфирования отсутствуют, предпочтительно использовать модель Релея пропорционального демпфирования. Матрицу демпфирования С зададим в виде
C M J (U0 (t) ), |
(19) |
41 |
|
где |
J (U0 (t) |
– касательная матрица жесткости (матрица Якоби), отвечающая положению |
статического равновесия от постоянной нагрузки, и константы, подлежащие определению. Такой способ задания матрицы демпфирования предполагает, что суммарная
диссипация энергии в конструкции складывается из суммы энергий, поглощенных по каждой из собственных форм колебаний, т. е. вклад i-й формы колебаний в движение системы определяется из решения уравнения
d |
2 |
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
||
z |
(t) 2 |
i |
i |
i |
d dt
z |
(t) |
2 |
z |
(t) |
|
||||
i |
i |
i |
|
|
ri (t)
.
(20)
Коэффициент демпфирование i на одной собственной частоте можно получить в результате эксперимента путем наложения начальных условий, относящихся только к соответствующей форме собственных колебаний и измеряя характеристики затухания свободных колебаний.
Константы и определяются по двум значениям коэффициентов демпфирования, , относящимся к двум различным частотам свободных колебаний . Система для определения и имеет вид
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
,
|
2 |
2 |
|
. |
2 |
|
2 |
|
(21)
Для системы это первая и вторая собственные частоты колебаний вблизи статического положения равновесия от постоянной нагрузки. Коэффициенты
демпфирования, по соответствующим формам колебаний, задавались равнымит. е. 1 % и 2 % от критического значения.
Были проведены численные исследования колебаний жесткой нити под действием подвижной нагрузки при скорости движения подвижной нагрузки V 20 м / c .
На рис. 9 представлены перемещения и скорость точки, отвечающей середине пролета нити, перемещение точки контакта колесной пары тележки с нитью, а также напряжения в
нижней точке поперечного сечения середины пролета жесткой нити
Динамические кривые совмещены с квазистатическими кривыми.
M W
N A
.
Рис. 9. Вертикальные перемещения, скорость отдельных точек нити, напряжения
Выводы
42
Представленный алгоритм динамического расчета жесткой нити на подвижную нагрузку может быть применен для расчета колебаний висячих и вантовых мостов под действием подвижной нагрузки, когда имеет место сильно выраженная связанность колебаний подвижной нагрузки и пролетного строения (обратная связь).
Библиографический список
1.Ананьин, А. И. К расчету гибких и жестких нитей / А. И. Ананьин, А. Н. Аверин // Исследования висячих комбинированных конструкций. - Воронеж, 1980. - С. 15-29.
2.Аверин, А. Н. Вариант уравнений жесткой нити / А. Н. Аверин// Методы и алгоритмы расчета сооружений и конструкций. - Воронеж, 1990. - С. 160-166.
3.Аверин, А. Н. Конечный элемент жесткой нити/ А. Н. Аверин // Строительная механика и конструкции. 2018. - Т.3. - №18. - С. 7-17.
4.Барченков, А. Г. Динамический расчет автодорожных мостов / А. Г. Барченков. – М.: Транспорт, 1976. – 199 c.
5.Сафронов, В. С. Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку/ В. С. Сафронов. – Воронеж: ВГУ, 1983. – 194 c.
6.Аверин, А. Н. Расчет гибкой нити на консервативную нагрузку / А. Н. Аверин // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: межвуз. сб. науч. тр. - Воронеж, 1993. - С. 154-159.
7.Аверин, А. Н. Нелинейные колебания гибкой нити / А. Н. Аверин// Современные проблемы механики и прикладной математики: тезисы докладов школы. 1998. С. 10.
8.Аверин, А. Н. Исследование нелинейные колебания гибкой нити / А. Н. Аверин// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: межвузовский. сб. науч. трудов. - Воронеж, 1998. - С. 8-12.
9.Аверин, А. Н. Малые колебания непологой гибкой нити / А. Н. Аверин, А. Ф. Хмыров// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: Сб. науч. ст. преподавателей, сотрудников, аспирантов и докторантов академии. - Воронеж, 2000. - С. 149-154.
10.Аверин, А. Н. Конечный элемент гибкой нити / А. Н. Аверин // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. - Воронеж,
2002. - С. 34-38.
11.Аверин, А. Н. Экспериментально-теоретические исследования колебаний неразрезного пролетного строения моста под действием подвижной нагрузки / А.Н. Аверин // Строительная механика и конструкции. - 2019. - Т.1. -№20. - С. 41-51.
12.Аверин, А. Н. Нелинейные пространственные колебания висячего моста под действием подвижной нагрузки/ А. Н. Аверин, С. В. Ефрюшин // Оценка риска и безопасность строительных конструкций: тезисы докладов. – Воронеж, 2006. - С. 5860.
References
1.Ananyin A.I., Averin A.N. To the calculation of flexible and rigid strings. Studies of suspended combined structures. Voronezh, 1980. Pp. 15-29.
2.Averin A.N. Rigid string equations version. Methods and algorithms for calculating buildings and structures. Voronezh, 1990. Pp. 160-166.
43
3.Averin A.N. The finite element of a rigid string. Structural Mechanics and Structures. No. 3(18). 2018. Pp. 7-17.
4.Barchenkov A.G. The dynamic calculation of road bridges. M.: Transport, 1976. 199 p.
5.Safronov V.S. Calculation of suspension and cable-stayed bridges on a moving load. Voronezh: Voronezh State University, 1983. 194 p.
6.Averin A.N. Calculation of a flexible string for a conservative load. Modern methods of static and dynamic calculation of buildings and structures. Voronezh, 1993. Pp. 154-159.
7.Averin A.N. Nonlinear vibrations of a flexible string. Modern Problems of Mechanics and Applied Mathematics: Abstracts of school reports. 1998. Pp. 10.
8.Averin A.N. Research of nonlinear vibrations of a flexible string. Modern methods of static and dynamic calculation of buildings and structures. Voronezh, 1998. Pp. 8-12.
9.Averin A.N., Khmyrov A.F. Small vibrations of an inappropriate flexible string. Modern methods of static and dynamic calculation of buildings and structures. Voronezh, 2000. Pp. 149-154.
10.Averin A.N. The final element of a flexible string. Modern methods of static and dynamic calculation of buildings and structures. Voronezh, 2002. Pp. 34-38.
11.Averin A.N. Experimental-theoretical studies of vibrations of continuous span bridge under the action of a moving load. Structural Mechanics and Structures. No. 1(20). 2019. Pp. 4151.
12.Averin A.N., Efryushin S.V. Non-linear spatial vibrations of a suspension bridge under the action of a moving load. Risk assessment and safety of building structures: abstracts. Voronezh, 2006. Pp. 58-60.
RIGID STRING VIBRATIONS UNDER MOVING LOAD
А. N. Аverin1
Voronezh State Technical University1
Russia, Voronezh
1 PhD of Tech. Sciences, Associate Professor of the Department of Structural Mechanics, Tel.: +7(473)2715230; e-mail: AN_Averin @mail.ru
The problem of calculating rigid string vibrations under the action of a moving load is considered. The moving load is represented by a trolley with a platform and two wheelsets, the suspension of wheelsets is modeled by springs. For a rigid string, a discrete model is used in the form of an articulated rod chain, consisting of individual elements interconnected by hinges and elastic inserts. The equation of motion of the system "rigid string + moving load" is obtained from the equilibrium conditions of individual elements of the system at an arbitrary point in time t, taking into account the forces of inertia.
For the system “rigid string + moving load” the frequencies and forms of free vibrations are determined near the static equilibrium position under the action of constant and temporary loads. The graphs of changes in the frequencies of free vibrations near the static equilibrium position are analyzed depending on the location of the temporary load. An assessment of the connectedness of the oscillations of the rigid thread and the moving load is given. The integration of the equations of motion of the system "Rigid thread + moving load" is performed using the implicit trapezoid method. An example of calculating the forced vibrations of a rigid string under the action of a moving load is given. The values of dynamic displacements and speeds of individual points of the string, as well as stresses at points of dangerous sections, are analyzed. The developed algorithm for the dynamic calculation of a rigid string on a moving load is recommended to be used to calculate the vibrations of suspension and cable-stayed bridges when there is a pronounced correlation of the vibrations of the moving load and the span (feedback).
44