Материал: Структура и кинематика манипуляторов (90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Этот метод удобен при кинематическом исследовании пространственных механизмов с несколькими степенями свободы при использовании ЭВМ, так как позволяет формализовать процесс составления функций положения, передаточных функций и сокращает запись.
Для механизма с W степенями подвижности вектор |
координат точки |
|||||||||||||||||
К, принадлежащей n-му звену, определяется из выражения |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
rок = Mоnrnк = |
|
к (q1 , q2 , ,qw ) , |
|||||||||||
П |
||||||||||||||||||
где |
|
|
к (q1 , |
q2 , ,qw ) - функция положения точки К механизма |
||||||||||||||
П |
||||||||||||||||||
по обобщенным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Скорость точки К определяется из выражения |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
¶ |
|
|
|
w |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
¢ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi = |
å Пi,кqi , |
||||||
|
|
|
|
Vок = rок = |
Monrnк = å |
¶ qi |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
i= 1 |
|
|||||
где |
|
′i,к - |
|
|
|
|
||||||||||||
П |
первая |
передаточная |
функция по |
i–ой обобщенной |
||||||||||||||
координате;
qi - обобщенная скорость по i-ой обобщенной координате;
i = 1, 2, …, W.
|
|
|
|
|
¶ |
|
к |
|
¶ Mon |
|
|
|
|
|
∂ Mi− 1,i (qi ) |
|
|
|
||||
|
|
¢ |
|
П |
|
|
|
|
|
(qn ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пi,к |
= |
|
¶ qi |
= |
¶ qi |
|
rnк = M01 (q1 )× M12 (q2 ) |
|
¶ qi |
Mn− 1,n |
× rnк . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ускорение точки К механизма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
é w |
|
|
|
ù |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
ê å Пijqiqj |
+ Пiqi |
ú , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aoк = roк = |
Monrnк = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
П′′ |
|
|
|
|
|
i= 1 |
ë j= 1 |
|
|
|
û |
|
|
|||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j-ой обобщенным |
|||||||
|
|
|
ij - вторая передаточная функция по i-ой и |
|||||||||||||||||||
координатам точки К механизма (индекс К опущен). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i = 1, 2, …, W. |
|
|
∂ 2Mon |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П′ij′ = |
rnк . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ qi∂ qj |
|
|
|
|
|
|
|||
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры.
1. Манипулятор ВПП (рисунок 3.1 )
Рисунок 3.1
Неподвижную систему координат S0 (OX0y0Z0) связываем со стойкой. Систему координат S1 связываем со звеном 1 и смещаем ее относительно S0 вдоль звена 1 на расстояние 1 , т.е. перемещаем в точку А. Положение
системы S1 в неподвижной системе координат задается расстоянием 1 (q1). Систему координат S2 жестко связываем со звеном 2, вращающимся вокруг
оси Oy в горизонтальной плоскости X1Z1. Положение звена 2 в системе
координат S1 определяется углом поворота φ12 (q2).
Систему координат S3 связываем со звеном 3, т.е. переносим параллельно системе S2 на расстояние 2 вдоль оси X. Положением системы
S3 в системе S2 задается расстоянием 2 вдоль оси X2 (q3) (начало координат в точке В).
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положение системы S3 в неподвижной системе координат S0 выразим через обобщенные (независимые) координаты
1 = q1 , ϕ 12 = q2 , |
2 = q3 . |
||||||
Координаты точки Д в системе S3 : |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 = 4 , |
y |
3= 3 , Z3 = 0 или r |
= |
|
3 |
. |
|
|
|
3д |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Положение точки Д в неподвижной системе координат S0 определяется |
|||||||
матричным выражением |
r0Д = M03r3Д , |
|
|
|
|
||
|
|
|
(3.1) |
||||
где r0Д - вектор координат точки Д в системе координат S0; |
|||||||
M03 - матрица преобразований от системы S3 |
к системе S0, составленная |
||||||
как произведение матриц последовательных промежуточных переходов.
|
M03 = M01M12M23 , |
|
|
|
(3.2) |
||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
M01 = |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
cosϕ 12 |
0 |
sin ϕ 12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M12 |
= |
− |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
; |
|
|
sin ϕ 12 |
0 |
cosϕ 12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
||||
M23 = |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
; |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
4 |
|
|
r |
= |
|
3 |
|
. |
3 д |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Перемножая матрицы преобразований и вектор координат r3д |
|||||
получаем вектор координат r0д :
|
|
|
|
|
cos j 12 |
0 |
sin j 12 |
2 cos j 12 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
= M |
03 |
× r = |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
´ |
|
3 |
|
, |
0д |
3д |
|
- sin j 12 |
0 |
cos j 12 |
- 2 sin j 12 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + |
4 )cosϕ 12 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
3 |
|
|
|
|
r0д |
= |
|
|
|
. |
(3.3) |
|||||||
|
− |
( 2 |
+ |
|
4 )sin ϕ 12 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Отсюда определяются координаты точки Д в неподвижной системе:
X0Д = |
( 2 + |
4 )cos j 12 , |
|
y 0Д = |
1 + |
3 , |
(3.4) |
Z0Д |
= − ( 2 + |
4 )sin ϕ 12 . |
|
Чтобы найти скорость и ускорение точки Д нужно (3.3) или (3.4) продифференцировать по времени:
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
¶ M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
03 |
|
|
|
|
|
|
||||
V0Д |
= |
r0Д = |
M03r3Д = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
(3.5) |
|||||||
|
|
|
|
qi × r3Д |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 ¶ qi |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
é |
3 |
¶ |
2M03 |
|
|
|
¶ M03 |
ù |
|
|
|||
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|||||||||||
a0Д = r0Д |
= |
M03r0Д = å |
ê |
|
|
|
|
|
qiqj + |
|
|
qi ú |
× r3Д . |
(3.6) |
|||||
|
|
|
|
|
i= 1 |
ê j= 1 |
|
¶ qi¶ qj |
|
|
|
¶ qi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Манипулятор ВВП (рисунок. 3.2 )
Рисунок 3.2
Неподвижная система координат S0 связана со стойкой. Система координат S1 связана со звеном 1 и определяется углом поворота вокруг оси
Oу - φ01 (q1).
Систему координат S2 перемещаем в точку А на расстояние 1 и
связываем со звеном 2, вращающимся вокруг оси OZ. Положение звена 2 определяется углом поворота φ12 (q2). Начало координат системы S3 в точке В,
т.е. положение системы S3 в системе S2 задается расстоянием 2 вдоль оси X2
(q3).
Координата точки Д в системе S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
|
3 |
|
. |
3д |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1