Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

. (43)

Главной особенностью вынужденных колебаний при резонансе является зависимость их амплитуды от времени:

.

Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае увеличивается пропорционально времени. Сдвиг фаз при резонансе, как это следует из (43) равен .Круговая частота вынужденных колебаний при резонансе совпадает с круговой частотой возмущающей силы.

З

Рис. 10

Рассмотренный случай колебаний при резонансе без сопротивления практически не встречается, так как при движении системы всегда есть силы сопротивления движения. Установленный теоретически рост амплитуды с течением времени по линейному закону в действительности тоже не наблюдается, хотя амплитуды при резонансе достигают довольно больших значений по сравнению со случаем отсутствия резонанса. Эта особенность вынужденных колебаний при резонансе приводит к тому, что случайно возникший резонанс в машинах, установках и сооружениях (мосты, роторы турбин, полы зданий и т. д.) может привести к их разрушению.

Построим для вынужденных колебаний графики амплитуды и сдвига фаз в зависимости от круговой частоты возмущающейся силы. Имеем

при или ,

где введено обозначение (рис. 11).

При величина , но при эту формулу для амплитуды вынужденных колебаний применять нельзя.. Справедлива другая формула: .

Г рафик зависимости от (рис. 12) состоит из двух отрезков горизонтальных прямых и одной точки, так как при ; при .

Рис. 11 Рис.12

1.2.4. Влияние линейного сопротивления

на вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение

вынужденных колебаний и его интегрирование

Для выяснения влияния линейного сопротивления на вынужденные колебания рассмотрим наиболее общий случай, когда обобщенная сила состоит их трех сил: потенциальной , линейного сопротивления и гармонической возмущающей .

Подставляя это значение обобщенной силы в уравнение Лагранжа (1), получаем

.

Разделим обе части уравнения на и введем обозначения , , . Здесь – круговая частота собственных колебаний; – коэффициент затухания и – относительная амплитуда возмущающей силы.

Дифференциальное уравнение в окончательной форме

. (44)

Получено линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вынужденных колебаний с учетом линейного сопротивления.

Так как оно является неоднородным уравнением, то его решение состоит из двух частей: – общего решения однородного уравнения, – частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения удовлетворяет уравнению собственных колебаний при линейном сопротивлении, поэтому его называют собственным движением или даже собственными колебаниями, хотя это движение может и не быть колебательным.

Частое решение неоднородного уравнения называют вынужденным колебанием. Общее движение системы характеризуется обобщенной координатой , которая равна сумме и , т.е. . Величину называют общим вынужденным движением (или вынужденным колебанием).

Общее решение однородного дифференциального уравнения в зависимости от соотношения между величинами и выражается в одной их трех форм:

, ;

, ;

, .

Известно, что в любом из трех случаев из-за наличия множителя стремится к нулю с возрастанием времени, т.е. затухает. При малых значениях коэффициента затухания затухающее движение носит колебательный характер, а при больших затухание так велико, что движение не является колебательным. Следовательно, при наличии линейного сопротивления по истечении достаточного времени общее вынужденное движение несущественно отличается от вынужденных колебаний и можно считать, что .

Частное решение уравнения (44) следует искать в форме .

Постоянные и определяются из следующего условия: если подставить в уравнение (44), то оно превратится в тождество. Вычислим для этого производные от :

; .

Преобразуем правую часть уравнения (44) так, чтобы в нее входили косинус и синус такого же аргумента, что и у функции . Для этого следует к фазе правой части прибавить и вычесть величину и раскрыть синус суммы:

.

Учитывая это, подставим значение и его производных в уравнение (44) и соберем члены при и . Получим тождество

.

Так как синус и косинус переменного аргумента не равны нулю одновременно, то тождество может выполняться только тогда, когда каждая из постоянных в квадратных скобках равна нулю, т.е.

; .

Из этих уравнений определяем амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз :

, ,

, .

Из формулы для следует, что является положительной величиной. Следовательно, значения заключены между и . Поэтому для определения достаточно использовать формулу только одной тригонометрической функции, например для .

Окончательная форма выражения вынужденных колебаний

, (45)

где

, , . (46)

Основные свойства вынужденных колебаний

Из (45) и (46) следуют основные свойства вынужденных колебаний при наличии линейного сопротивления. Вынужденные колебания не затухают. Их частота совпадает с частотой возмущающей силы. Вынужденные колебания и при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий. Следовательно, их нельзя возбудить с помощью ненулевых начальных условий. Для возникновения вынужденных колебаний на систему должно действовать возмущение.

Амплитуда и сдвиг фаз вынужденных колебаний зависят от частот собственных и вынужденных колебаний и коэффициента затухания. Чем больше коэффициент затухания при прочих равных условиях, тем меньше амплитуда вынужденных колебаний. Незатухающий характер вынужденных колебаний при линейном сопротивлении – главное отличие их от собственных колебаний, которые при действии линейного сопротивления всегда затухают, сохраняя колебательный характер , или затухают почти монотонно .

Другая важная особенность влияния линейного сопротивления на вынужденные колебания связана с явлением резонанса. В случае резонанса при линейном сопротивлении амплитуда вынужденных колебаний не возрастает пропорционально времени, как при отсутствии сопротивления, а остается постоянной величиной. Достаточно как угодно малого сопротивления, чтобы амплитуда вынужденных колебаний при резонансе была постоянной, хотя, возможно, и достаточно большой, но не переменной, возрастающей с течением времени. Это свойство вынужденных колебаний хорошо подтверждается опытными данными.

Исследование вынужденных колебаний

Амплитуда и сдвиг фаз вынужденных колебаний и в соответствии с (46) не зависят от начальной фазы возмущающей силы. При их вычислении можно считать , например, . Если бы возмущающая сила была постоянной, равной амплитуде , то правая часть уравнения (44) была бы тоже постоянной и в качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять постоянную величину статического смещения . Проверка убеждает, что это значение удовлетворяет уравнению (44).

Если вычислить из (45), учитывая (46) как частный случай, соответствующий и , то получим , что совпадает со статическим смещением. Следовательно, можно считать «амплитудой» вынужденных колебаний при действии постоянной возмущающей силы, совпадающей по модулю с наибольшим значением гармонической возмущающей силы. Величину называют коэффициентом динамичности.

Коэффициент динамичности характеризует относительную величину амплитуды вынужденных колебаний, т.е. показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при действии гармонической возмущающей силы отличается от статического смещения, которое вызывает постоянная возмущающая сила, равная по модулю наибольшему значению гармонической силы.

Исследование показывает, что для достаточно малого сопротивления коэффициент динамичности может быть значительно больше единицы. Проведем исследование коэффициента динамичности. Найдем, когда он принимает максимальное и минимальное значение, когда стремится к нулю и т.д.