Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Для обобщенной силы получаем

,

где – возможное перемещение груза в направлении возрастания .

Вычислим производные от кинетической энергии. Имеем

; ; .

Подставляем полученные величины в уравнение Лагранжа, получаем

или .

В случае гармонической возмущающей силы

,

где , и - постоянные величины. Уравнение движения груза принимает форму

.

Предположим в этой задаче о движении груза, что сила , а следовательно, и , но вместо этого задано движение конца пружины – точки в направлении оси - в форме (рис. 9, б). Составим уравнение Лагранжа для груза относительно подвижной системы отсчета , начало которой движется вместе с точкой так, что остается все время постоянным. В этом случае по-прежнему

.

Кинетическая энергия груза

,

так как движение груза можно рассматривать как сложное, состоящее из переносного поступательного вместе с точкой и относительного по отношению к теперь уже подвижной системе координат . По теореме о сложении скоростей скорость абсолютного движения равна сумме скоростей переносного и относительного движений, т.е. . Для производных от кинетической энергии имеем:

; ; .

Подставляя полученные величины в уравнение Лагранжа, получим

; .

Роль обобщенной силы в этом уравнении выполняет величины – . Если точка совершает гармонические колебания, то

,

где , , - постоянные величины. В этом случае

и дифференциальное уравнение движения груза примет форму

,

т.е. то же, что и в первом случае, но .

Если вместо задать скорость точки , изменяющуюся по гармоническому закону

,

то уравнение движения груза примет вид

и в этом случае .

Существенное различие этих случаев в том, что при силовом возбуждении не зависит от круговой частоты . При кинематическом возбуждении заданием движения точки оно пропорционально , а при возбуждении заданием скорости точки – пропорционально . Силовое возбуждение эквивалентно возбуждению путем задания ускорения точки .

При дальнейшем рассмотрении вынужденных колебаний ограничимся случаем силового возбуждения.

Пусть обобщенная сила состоит из двух сил: потенциальной и гармонической возмущающей .

Часть обобщенной силы , зависящую от сил сопротивления, считаем равной нулю. Постоянные , и , характеризующие гармоническую возмущающую силу, соответственно являются амплитудой, круговой частотой и начальной фазой этой силы. В этом случае, как и в случае собственных линейных колебаний, из уравнения Лагранжа в предположении, что для кинетической и потенциальной энергий справедливы формулы (2) и (3), получаем дифференциальное уравнение

. (37)

Разделим обе части (37) на и введем обозначения , .

Здесь – круговая частота собственных колебаний, – относительная амплитуда возмущающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без сопротивления в окончательной форме имеет вид

. (38)

Получено неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение, согласно теории дифференциальных уравнений, состоит из общего решения однородного уравнения и частотного решения неоднородного уравнения . Общее решение уравнения (38) есть сумма этих двух решений, т.е. .

Однородное уравнение для определения , т.е. уравнение , совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний. Поэтому его решение называют собственным колебанием системы. Оно может быть выражено в двух эквивалентных формах:

. (39)

Часть движения системы, характеризуемая функцией , является частным решением уравнения (38). Эту часть движения называют вынужденным колебанием системы. Функция определяется по-разному в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и возмущающей силы.

Возможны два случая: отсутствие резонанса и резонанс при . Рассмотрим их.

1.Случай отсутствия резонанса. В случае отсутствия резонанса и частное решение следует искать в этой же форме, что и правая часть уравнения (38):

. (40)

Постоянная подлежит определению из условий, что функция является частным решением уравнения (38) и, следовательно, подстановка в это уравнение должна обратить его в тождество. Определим необходимые производные по времени от :

; .

Подставляя и ее производные в уравнение (38) и перенося все члены в одну часть, получаем следующее тождество, справедливое в любой момент времени:

.

Так как синус переменного аргумента равен нулю не для всех значений , то полученное тождество выполняется, если постоянный коэффициент в скобках при синусе равен нулю:

.

Отсюда

.

Подставляя значение в , получаем вынужденные колебания в форме

. (41)

Таким образом, движение системы характеризуется обобщенной координатой , состоящей их двух колебаний с различными частотами – собственных с круговой частотой и вынужденных с круговой частотой :

. (42)

В амплитудной форме

. (42')

Постоянные и или и определяются из начальных условий , , .

Подставляя эти значения в выражения (42) для и при , получаем

, .

Отсюда

, .

Амплитуда собственных колебаний и начальная фаза через и выражаются формулами

; .

Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависит не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, т.е. собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающих сил даже при нулевых начальных условиях.

Введем амплитуду вынужденных колебаний . Тогда в зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах:

при

,

при

.

Следовательно, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, т.е. вынужденные колебания и возмущающая сила, в частности, достигают одновременно максимальных и минимальных значений.

При сдвиг фаз . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями

.

В этом случае вынужденные колебания находятся в противоположной фазе по отношению к возмущающей силе, т.е., в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция достигает минимума, и наоборот.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при , возбуждаемые гармонической возмущающей силой, являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой. Их частота совпадает с частотой возмущающей силы. Они совершенно не зависят от начальных условий.

2. Случай резонанса. Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т.е. когда . При совпадении частот частное решение уравнения (38) следует искать в форме .

Постоянная определяется из условия, что есть частное решение уравнения (38), обращающее его в тождество. Аналогично рассмотренному случаю, подставив и ее производные в (38) и приравняв нулю постоянный коэффициент при [члены с взаимно уничтожаются], получаем . Тогда вынужденные колебания выразятся в форме