Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

В действительности функция не является периодической, так как не существует величины , удовлетворяющей условию периодичности для любого момента времени.

Определим моменты времени, в которые функция достигает максимальных значений. В эти моменты времени .

Дифференцируя выражение из (27) и приравнивая нулю производную, получим следующее выражение:

.

Так как равно нулю только при , то соответствующие моменты времени определяются из условия равенства нулю выражения в квадратных скобках:

или

.

Если - одно из искомых значений удовлетворяющих этому тригонометрическому уравнению, то, учитывая, что период тангенса равен , все остальные искомые значения времени будут удовлетворять соотношению

или

,

где - любое натуральное число.

Таким образом, моменты времени, в которые функция достигает максимумов и минимумов, образуют бесконечную последовательность значений

, , .

Из графика функции (см. рис. 7) следует, что между каждыми ее двумя максимумами расположен один минимум, и наоборот. Следовательно, два соседних максимальных значения функции наступают через промежуток времени, равный , который совпадает с периодом затухающих колебаний . Два последовательных минимума тоже разделяют промежуток времени, равный .

Переменную величину называют условной амплитудой затухающих колебаний. Она не является максимальным значением функции . Установим закон изменения условной амплитуды при изменении времени на период . Если в момент времени условная амплитуда , то через промежуток времени, равный периоду затухающих колебаний , в момент

.

Это справедливо для любых двух моментов времени, отличающихся на период . Действительно, если при

,

где - любое натуральное число, больше единицы, то при

.

Таким образом, последовательные значения условных амплитуд а моменты времени, отличающиеся на условный период, образуют убывающую геометрическую прогрессию , ; ; …; ; … со знаменателем .

Можно показать, что по такому же закону убывающей геометрической прогрессии изменяются любые последовательные значения функции

для моментов времени, отличающихся друг от друга на условный период. Так, если в момент времени

,

то для момента времени

,

так как , вследствие того что является периодом.

Аналогично, если для

,

то для

.

Поэтому последовательные значения образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .

Так как любые два значения функции , соответствующие моментам времени, отличающимся на период , связаны соотношением

,

то этому соотношению удовлетворяют и два последовательных значения максимума:

.

Величину отношения двух последовательных максимумов

называют декрементом колебания.

Натуральный логарифм декремента колебания называется логарифмическим декрементом колебания. Для логарифмического декремента колебания имеем

. (32)

Кроме декремента и логарифмического декремента колебания часто используется другая характеристика затухания – добротность системы , которая определяется приближенным соотношением

, (33)

где - частота собственных колебаний без учета сопротивления; - коэффициент затухания.

Логарифмический декремент колебания можно выразить через добротность. Действительно, из (32) и (33) с учетом (31)

. (34)

Таким образом, из проведенного исследования можно заключить, что малое линейное сопротивление незначительно увеличивает период колебаний по сравнению со случаем отсутствия сопротивления, но сильно уменьшает последовательные значения условных амплитуд, которые уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону.

Затухающие движения

Рассмотрим случай, когда (случай большого сопротивления). Корни характеристического уравнения в этом случае имеют значения

,

где введено новое обозначение для положительной величины .

Оба корня характеристического уравнения действительны и отрицательны, так как . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

, (35)

г де и - произвольные постоянные, которые можно определить по начальным условиям

; ; .

Н

Рис. 8

При функция некоторое время возрастает до определенного максимума, а затем убывает, асимптотически приближаясь к нулю, так как вследствие того, что показатели степеней и отрицательны (кривая 1).

При неочень больших по абсолютной величине отрицательных значениях может сразу начаться убывание (кривая 2). При больших по модулю отрицательных значениях функция , убывая, может достичь нулевого значения, соответствующего положению равновесия системы, стать отрицательной и, оставаясь отрицательной, асимптотически приближаться к нулю (кривая 3). Во всех этих случаях движение является затухающим, неколебательным, которое иногда называют также апериодическим.

При (случай критического сопротивления) характеристическое уравнение имеет кратный отрицательный корень

.

Соответственно этому решение дифференциального уравнения имеет вид

. (36)

Произвольные постоянные и определяются по начальным условиям. В этом случае при , стремящемся к бесконечности, стремится к нулю при любых конечных значениях постоянных и , так как

,

что проверяется раскрытием неопределенности по правилу Лопиталя.

Таким образом, случай критического сопротивления тоже дает затухающее движение.

При движение не является колебательным и с некоторого момента времени начинается так называемое лимитационное движение, при котором система асимптотически стремится вернуться к положению равновесия.

Анализ влияния линейного сопротивления на собственные малые колебания показывает, что линейное сопротивление не может сделать устойчивое положение равновесия неустойчивым. Если в окрестности устойчивого положения равновесия система совершает незатухающие малые колебания, то линейное сопротивление превратит их в затухающие или сделает даже затухающими движениями.

1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления

Для возбуждения вынужденных колебаний необходимо действие на точки механической системы возмущения в этой или иной форме. Наиболее часто встречаются случаи силового и кинетического возбуждений. Рассмотрим эти случаи на примере прямолинейных колебаний груза массой по горизонтальной гладкой плоскости (рис.9, а) под действием пружины, жесткость которой .

а) б)

Рис. 9

Пусть на груз дополнительно действует зависящая от времени сила . У груза одна степень свободы. Связи (гладкая поверхность) являются идеальными. Составим для движения груза уравнение Лагранжа, приняв за обобщенную координату, отсчитываемую от положения груза, при котором пружина не деформирована. Имеем

.

Силы сопротивления отсутствуют, т.е. . Кинетическая энергия груза

.

Потенциальная энергия и обобщенная сила

; .