Материал: Управление рисками и страхование. Енина Е.П., Лаврёнова Г.А

5.2.2. Предмет теории игр. Основные понятия

Теория игр является теорией математических моделей принятия ре­шений в условиях конфликтов. Здесь под конфликтом будем понимать явление, применительно к которому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует, какие у него могут быть исходы и кто и как в этих исходах заинтересован. Поэтому для формального задания конфликта необходимо указать:

1) множество участвующих в нем действующих начал, называемых коалициями действия;

2) семейство множеств стратегий каждой из коалиций действия;

3) множество ситуаций;

4) множество заинтересованных начал, называемых коалициями ин­тересов;

5) семейства отношений, выражающих предпочтения между ситуа­циями для коалиций интересов.

Перечисленная система множеств и называется игрой. Содержание теории игр состоит в установлении связей между компонентами каж­дой игры и оптимальными ее исходами, и прежде всего, в уточнении самого понятия оптимальности, в доказательстве существования опти­мальных исходов и в их фактическом определении.

Дли игр с. одной коалицией действия множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий этой единственной коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать. Поэтому такие игры назы­ваются нестратегическими. Важным классом таких игр являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупно­стью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «при­рода». Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встречаться ситуации, в которых игроком действительно может выступать природа (например, обстоятельства, связанные с по­годными условиями или с природными стихийными силами).

В отличии от нестратегических игр, все остальные игры, с двумя или более коалициями действия, называются стратегическими. В практиче­ских ситуациях часто появляется необходимость

согласования действий компаний, объединений, министерств и дру­гих участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В подобных ситуациях теория стратегических игр позволяет найти опти­мальное решение для поведения всех участников проекта, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.

Риск и неопределенность исходов игры обусловливаются случайным состоянием среды или выбором образа действия противоположной стороной, или вероятностным характером появления желаемого ре­зультата по возможным стратегиям.

В этой главе рассматриваются различные экономические ситуации, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов ок­ружающей среды, именуемых «природа».

В играх с природой, как и в стратегических играх, создание модели должно начинаться с построения платежной матрицы. Это наиболее трудоемкий и ответственный этап подготовки принятия решения, так как ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы ни­какими вычислительными методами и могут привести к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности.

Предположим, что построена следующая платежная матрица игры с природой:

(5)

Здесь игрок 1 имеет т возможных ситуаций , ,…, , а у при­роды имеется n возможных состояний (стратегий) , , ... , .

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или сово­купность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объеди­ненных в понятие «природа»).

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей. Вели­чина риска — это размер платы за отсутствие информации о со­стоянии среды. Матрицу R строим на основе матрицы

выигрышей .

Риском .игрока при использовании им стратегии , и при состоя­нии среды будем называть разность между выигрышем, который игрок. Получил бы , если бы он знал, что состоянием среды будет , выигрышем который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) игрок выбирает ту страте­гию, при которой его выигрыш максимальный, т.е.

(6)

где при заданном j.

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.

5.3. Критерии оптимальности в условиях полной неопределенности

Неопределенность связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии:

• критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда).— это пессимистический по своей сути критерий, потому что принимается во внимание только самый плохой из всех возможных результатов каждой альтернативы. Этот подход устанавливает гаран­тированный минимум, хотя фактический результат может и не быть настолько плохим;

• критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оптими­стической наступательной стратегии; здесь не принимается во внима­ние никакой возможный результат, кроме самого лучшего;

• критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтерна­тивы с худшим из всех .худших значении окупаемости;

• критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматривать как критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с луч­шим из плохих значений;

• критерий обобщенного максимипа (пессимизма — оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. В определенных обстоятельствах каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, которые могут помочь в выработке решения.

При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесооб­разно останавливаться на выборе единственного критерия, так как в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, веду­щим к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Поэтому в указанных ситуациях имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата может быть использован кри­терий Сэвиджа, критерии оптимального поведения может дополняться применением пессимистического критерия и т.д.

Применение различных критериев эффективности для различ­ных за­дач выбора оптимальных решений в условиях неопределенности пока­зывает, что подход, базирующийся на комплексном применении ука­занных критериев, может стать определяющим [13].

5.3.1. Критерий гарантированного результата

Его также называют максимшшым критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множе­ством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы:

Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. Наряду с факторами управляемыми действуют факторы, которые не поддаются контролю. Обозначим их

через

В качестве могут быть технические параметры проектируемых сис­тем экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п

Факторы представляют: уровень спроса на товары, предла­гаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации техничес­ких и произ­водственных систем, действия конкурентов и т.д.

Для оценки эффективности принимаемых решений вводим показа­тель эффективности Е и считаем, что функция Е(Р, П) яв­ляется извест­ной. Так как факторы Р и П являются дискретными, то и эффектив­ность Е также представляет собой множество диск­ретных чисел. Таким образом, каждой точке контролируемых и неконтролируемых факто­ров ( )ставится в соответствие зна­чение эффективности Е ( ). Следовательно, можно построить матрицу , которая представ­лена в виде табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Матрица эффективности

Для каждого контролируемого фактора (строки) нахо­дится , в результате чего определяется набор значений показателя эффективности . Сравнивая полученные величины, выбирают управляемый фак­тор , при котором, обеспечивается максимальное значе­ние Е(Р, П).

Таким образом, критерий гарантированного результата (максимин­ный критерий Вальда) записывается в виде

E (P,П) = max min e_ij (7)

обеспечивает максимизацию минимально го выигрыша или, что-то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий. Критерий прост и четок, но кон­сервативен в том смысле, что ори­ентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максимальному критерию, называется нижней ценой игры, под кото­рой следует понимать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным про­тивником выбором одной из своих стратегий при мини­мальных результатах. Это перестраховочная позиция крайнего песси­миз­ма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хо­чет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стра­тегии определяется отношением игрока к риску.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть, например, предприя­тие гото­вится к переходу на новые виды продукции, при этом воз­можны че­тыре решения , каждому из которых соот­ветствует определен­ный вид выпуска или их сочетание.

Результаты принятия решений существенно зависят от обста­новки, которая в значительной мере неопределенна. Варианты обстановки ха­рактеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: .

Выигрыш, характеризующий относительную величину резуль­тата (доходы, прибыль и т.п.), соответствующий каждой паре со­четаний решений Р и обстановки П, представлен в табл. 5.2.

Нужно найти такую стратегию (линию поведения) , которая по сравнению с другими является наиболее выгодной (оптимальной). По­казатель эффективности

и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту .

Выбрав решение , мы независимо от вариантов обстановки полу­чим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае не­благоприятной обстановки, может быть получен результат (выигрыш) меньше 0,25.

Таблица 5.2

Эффективность выпуска новых видов продукции

Так, при выборе решений , полу­ченный выигрыш, в зависимости от наступившего варианта об­становки, будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят 0,10:0,80 и 0,20:0,90.

Отметим еще раз, что этот критерий ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. Так этот критерий ни­как не учитывает, что в случае принятия решения (т.е. при ори­ентации на выигрыш 0,25), максимальный выигрыш не превыша­ет 0,4. В то время, как вы­бирая, например, решение при гаран­тированном выигрыше 0,1 в слу­чае благоприятной обстановки можно получить выигрыш равный 0,80.

В ряде экономических задач в качестве критерия эффективно­сти принимаемых решений выступает показатель минимума зат­рат. В этих ситуациях принцип гарантированных затрат форму­лируется в виде