Материал: Вариационные методы

Теорема о необходимом условии экстремума для изопериметрической задачи

где

и ε1, ε2 → 0 при σa, σb → 0 .

Потребуем теперь, чтобы проварьированная кривая y1(x)= y(x)+δa y +δb y

Теорема о необходимом условии экстремума для изопериметрической задачи

Такая точка существует, так как по условию теоремы y(x) не является экстремалью функционала – условия связи. При таком выборе точки ∆K=0 можно придать вид

Подставим (5.7) в (5.4), отбросив бесконечно малые

Пример 5.1 Решение вариационной задачи с изопериметрическим условием

Найти кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки (-1; 0) и (1; 0) , имеющую заданную длину π и охватывающую вместе с отрезком [-1; 1] максимальную площадь.

Мы ищем функцию y(x) для которой y(-1)=0, y(1)=0, интеграл

1

J(y) = ∫ ydx → max,

−1

принимает максимальное значение и выполняется условие

1

K(y)= ∫1+ (y′)2 dx = π

−1

Мы имеем, таким образом изопериметрическую задачу.

Пример 5.1 Решение вариационной задачи с изопериметрическим условием

По Th 1 составляет функционал

Интегрируя, получаем уравнение семейства окружностей

(x −c1 )2 + (y −c2 )2 = λ2

Значения произвольных постоянных и множителя Лагранжа λ определяются из граничных условий и условия связи.