Материал: Вариационные методы
Функциональные пространства
Функциональное пространство - совокупность функций, обладающих тем или иным набором свойств, с определенным для них тем или иным способом понятием расстояния.
Элементами (точками) функционального пространства являются функции.
Расстояние между функциями (точками) может определяется по разному, на основании введенного в
данном пространстве понятия нормы. Различают пространства:
•Непрерывных функций;
•Функций, имеющих одну непрерывную производную;
•Функций, имеющих n непрерывных производных;
•Интегрируемых функций, и т.д.
Функциональное пространство непрерывных функций
Обозначается С[a,b]
Элементами являются непрерывные на отрезке функции. Норма в этом пространстве (норма Чебышёва) определяется формулой:
x(t) = max x(t)
C[a,b] t [a,b]
В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:
ρ(x(t), y(t)) |
= |
|
|
|
x(t)− y(t) |
|
|
|
= max |
|
x(t)− y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C[a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
C[a,b] t [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функциональные пространства непрерывно дифференцируемых функций
Обозначается С[na,b] , где n – порядок существующей непрерывной производной.
Элементами являются функции, имеющие непрерывные производные до n-го порядка включительно на заданном отрезке. Норма в этом пространстве определяется формулой:
( ) |
|
|
|
|
n |
= max |
|
( ) |
|
|
+ max |
|
′( ) |
|
|
+ ...+ max |
|
x |
(n)( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x t |
|
|
|
C |
|
x t |
|
|
|
x t |
|
|
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
[a,b] |
t[a,b] |
|
|
|
|
t[a,b] |
|
|
|
|
t[a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:
ρ |
( |
( ) ( )) |
= max |
|
( ) |
( ) |
|
+ max |
|
′( ) |
− y |
′( ) |
|
+ ...+ max |
|
x |
(n)( ) |
− y |
(n)( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x t , y t |
|
x t |
− y t |
|
|
x t |
t |
|
|
t |
t |
|
|
|||||||
|
|
Cn |
t [a,b] |
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
[a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычисление расстояний между функциями в функциональных пространствах
Расстояние между функциями x(t)= t2 +1, y(t)= t3 −1 в
пространстве непрерывных функций на отрезке [0; 1] |
определится |
|||||||||||
следующим образом: |
|
(t2 +1)− (t3 −1) |
|
|
|
|
|
|
58 |
|
||
ρ(x(t), y(t)) |
|
= max |
|
|
= max |
|
t2 − t3 + 2 |
|
= |
2.148 |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
C[0, |
1] |
t [0, 1] |
|
|
|
t [0, 1] |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Между этими же функциями в пространстве С[1a,b] расстояние определится следующим образом:
ρ(x(t), y(t)) 1 |
|
= max |
|
(t2 +1)− (t3 −1) |
|
+ |
|
|
|
||||
С[0, |
1] |
t [0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t2 +1)′ − (t3 −1)′ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||||
+ max |
|
|
= max |
t2 − t3 + 2 |
+ |
|||||||||
t [0, |
1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
t [0, |
1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
58 |
+ |
1 |
= |
67 |
|
|||||||
+ max |
|
2t − 3t2 |
2.481 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
t [0, |
1] |
|
|
27 |
3 |
27 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Функционалы
Функционалом называют отображение, заданное на множестве функций и имеющее числовую область значений C[a,b] → .
Примеры функционалов:
1. Длина кривой, определенной заданной функцией:
b
J (y)= ∫
1+ y′2 dx
a
2. Площадь верхней полуплоскости, ограниченную кривой заданной длины l, проходящей через заданные
точки |
(-a, 0), (a,0) (простейшая задача Дидоны): |
a |
a |
J(y) = ∫ydx при выполнении условия: ∫
1+ (y′)2 dx = l
−a |
−a |