Материал: Вариационные методы
Функционалы
3.Время, за которое материальное тело проходит путь из точки A(0, 0) в точку B(a, b), под действием силы тяжести (задача о брахистохроне):
T(y)= ∫ |
|
′ |
) |
|
dx |
1+ (y |
2 |
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2gy |
|
|
|
4. Полная энергия деформированной балки имеющей форму y(x) длиной l, под действием распределенной нагрузки q(x):
l |
EIz |
|
|
2 |
|
J(y)= ∫ |
|
y |
(x) |
|
− q(x) y(x) dx |
0 |
2 |
|
′′ |
|
|
|
|
|
Функционалы
Функционал называется линейным, если он обладает свойством линейности по своему аргументу:
F(A x + B y)= A F(x)+ B F(y)
Функционал называется непрерывным, если он обладает свойством непрерывности по своему аргументу:
F(x + δx)− F(x)→0
δx →0
Функционал называется интегральным, если он имеет вид:
J(x)= t∫2 F(t, x, x')dt
t1
Вариация функционала
Вариацией функционала называется главная линейная часть приращения функционала при бесконечно малом изменении функции:
∆F(x)= F(x + δx)− F(x)= δF(x)+ o(δx) , причем δF(x)= A δx
Примеры вычисления вариации функционалов:
1. Для функционала F(x)= cos(x(1)), функции одной переменной, вариация будет вычисляться:
δF(x)= lim (F(x + δx)− F(x))= lim (cos(x(1)+ δx)− cos(x(1)))=
δx |
→0 |
δx |
→0 |
|
|
|
|
= lim (cos(x(1)) cosδx − sin(x(1)) sinδx − cos(x(1)))=
δx
→0
= −sin(x(1))δx
Вариация функционала
2
2. Для функционала F(x)= ∫x(t)dt , функции одной
1
переменной x(t), вариация будет вычисляться:
δF(x)= lim (F(x + δx)− F(x))= |
|
|
|
|
|
2 |
(x(t)+ δx(t))dt − |
2 |
|
= |
||||||||||||
|
lim |
∫ |
∫ |
x(t)dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
δx |
|
|
|
→0 |
|
|
δx |
|
|
|
→0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
lim ∫(x(t) |
+ δx(t)− x(t))dt = ∫δx(t)dt. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
δx |
→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторная работа № 1
1.Построить графики функций y(x) и z(x), заданные на промежутке [a, b].
2.Вычислить расстояние между функциями y(x) и z(x) в пространстве непрерывных функций.
3.Вычислить значение функционала J(y) на функциях
y(x), z(x).
4.Выписать вариацию функционала в форме Aδy.
5.Оценить, какая из функций лежит ближе к точке минимума заданного функционала.
6.Оформить отчет.