Материал: Вариационные методы
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 2. Уравнение Эйлера
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2017 г. |
Сильный и слабый экстремум
Функционал J(y), y C1[a,b] достигает при y = y0
слабого экстремума, если ε > 0 , такое что J(y)- J(y0)
сохраняет знак при всех 
y − y0 
C1 < ε.
Функционал J(y), y C[a,b] достигает при y = y0
сильного экстремума, если ε > 0, такое что J(y)- J(y0)
сохраняет знак при всех |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
C |
< ε . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сильный и слабый экстремум
Пусть яхте требуется пройти против ветра из точки А в точку В за min время.
Скорость яхты зависит от угла между направлением движения и ветром, как показано на рисунке.
Прямая AB доставляет слабый минимум времени движения. Однако пилообразные траектории движения доставляют сильный, глобальный min.
Необходимое условие экстремума
Th 2.1 Для того, чтобы функционал J(y) при y = y |
0 |
|||||||||
|
Курс |
|||||||||
достигал экстремума, необходимо, чтобы его вариация |
||||||||||
|
вариационные методы |
(2.1) |
||||||||
(если она существует) обращалась в ноль δJ ≡ 0 |
||||||||||
|
Рассмотрим для определенности минимум. |
|
||||||||
∆J = J(y0(x)+ δy)− J(y0(x))≥ 0 |
(2.2) |
|||||||||
для всех достаточно малых δy . |
|
|||||||||
По определению вариации |
|
|||||||||
∆J = δJ(y0(x),δy)+ α(y0(x),δy) |
|
|
|
δy |
|
|
|
знаком δJ, |
(2.3) |
|
|
|
|
|
|||||||
Знак выражения (2.3) определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
но |
δJ - линейный функционал, поэтому |
|
||||||||
δJ |
(y0(x),−δy)= −δJ(y0(x),δy) , и, следовательно, при |
|||||||||
δJ ≠ 0 выражение может быть, как положительным, так и отрицательным, т.е. минимум в данном случае не достигается. Поэтому должно выполняться δJ ≡ 0 
Первая вариация интегрального функционала
Рассмотрим интегральный функционал
x2 |
(2.4) |
|
J(y)= ∫F(x, y, y')dx → extr |
||
|
||
x1 |
|
В этом случае вариация J(y) вызывается изменением
(вариацией) функции y(x) и её производной y’(x): |
|
|||
y(x)= y0 (x)+ δy(x), |
′ |
′ |
′ |
(2.5) |
|
||||
y (x)= y0 |
|
(x)+ δy (x) |
||
Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F(x,y0+δy0,y′0+δy′) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции y0 с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям: