Материал: Вычислительная математика. методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». Собенина О.В., Пак А.А
1.
|
|
|
|
|
-2 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
2 |
5 |
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2.5 |
|
3.0 |
|
3.5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
0.9 |
|
1.0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-2 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
|
0.5 |
|
1.0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.0 |
3.5 |
4.0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
-3 |
-1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
0.9 |
1.0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
-2 |
3 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
0.9 |
1.2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
-4 |
-6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.
|
|
-1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
Задание 2. Вычислить значения заданной функции уi = f(xi)в узлах интерполяции хi = a + h i,где h = (b - a)/10, i = 0,1, ..., 10, на отрезке [a, b].
11
Варианты заданий
№ |
f(x) |
[a, b] |
№ |
f(x) |
[a, b] |
вариант |
|
|
вариант |
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
[0, 2] |
9 |
|
[1, 5] |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
[0, 2] |
10 |
|
[1, 5] |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
[0, 5] |
11 |
|
[0, 3] |
|
|
|
|
|
|
4 |
1/(0.5 + x2) |
[0, 2] |
12 |
|
[0, 2] |
|
|
|
|
|
|
5 |
e-(x + sinx) |
[2, 5] |
13 |
cos(x + ecos x) |
[3, 6] |
6 |
1/(1 + e-x) |
[0, 4] |
14 |
|
[0, 1] |
|
|
|
|
|
|
7 |
sin(x + esin x) |
[0, 3] |
15 |
e cosx2 cosx2 |
[0, 2] |
8 |
e -(x + 1/x) |
[1, 3] |
|
|
|
Задание 3. Для вычисленной табличной функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, используя операторы суммирования и перемножения по дискретному аргументу, а также функциюif.
Построить график интерполяционного многочлена и отметить на нем узловые точки (xi, yi).
Задание 4. Провести интерполирование заданной функции с помощью 1ой и 2ой интерполяционных формул Ньютона.
Построить графики интерполяционных многочленов и отметить на нем узловые точки (xi, yi).
Задание 5. Провести линейную интерполяцию заданной функции с помощью встроенной интерполяционной функции linterp.
Построить график функции linterp и отметить на нем узловые точки (xi, yi).
Задание 6. Провести сплайн-интерполяцию с помощью функций lspline, pspline, сspline и interp.
Построить график функции interp и отметить на нем узловые точки (xi, yi).
Задание 7. Вычислить значения заданной функции уi = f(xi)в точках хi = a + i/10,где, i = 0,1, ..., 10(b - a), на отрезке [a, b].
12
С использованием функции predict выполнить предсказание (экстраполяцию) полученного вектора данных yi в последующих10 точках по последним 7 значениям функции.
Отобразить графически имеющиеся данные, предсказанные данные и истинный вид функции f(x).
Задание 8. Дана функция y=f(x). Приблизить |
f(x) на отрезке |
[a,b] |
интерполяционными многочленами Лагранжа 1, 2, |
3 степеней. На одном |
|
чертеже построить графики приближающих многочленов и функции f(x). |
Для |
|
многочлена 3 степени сравнить качество приближения при различном выборе узлов интерполяции.
|
|
|
|
Таблица к задаче 8 |
|||
N |
N |
|
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
11 |
|
|
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
14 |
|
|
15 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Цель работы: изучить основы математической обработки результатов экспериментальных данных.
Задание 1. Создайте таблицу экспериментальных данных:
хi = a + h i, i = 0, 1, . . ., 10, h=(b - a)/10 наотрезке [a, b].
13
Варианты задания 1
№ вар. |
yi |
[a,в |
|
|
|
1 |
2.86; 2.21; 2.96; 3.27; 3.58; 3.76; 3.93; 3.67; |
[0, 1] |
|
3.90; 3.64; 4.09 |
|
|
|
|
2 |
1.14; 1.02; 1.64; 1.64; 1.96; 2.17; 2.64; 3.25; |
[-1, 1] |
|
3.47; 3.89; 3.36; |
|
3 |
4.70; 4.64; 4.57; 4.45; 4.40; 4.34; 4.27; 4.37; |
[2, 4] |
|
4.42; 4.50; 4.62 |
|
4 |
0.43; 0.99; 2.07; 2.54; 1.67; 1.29; 1.24; 0.66; |
[2, 4] |
|
0.43; 0.35; 0.70 |
|
5 |
1.55; 1.97; 1.29; 0.94; 0.88; 0.09; 0.02; 0.84; |
[1, 4] |
|
0.81; 0.09; 0.15 |
|
|
|
|
6 |
3.24; 1.72; 1.95; 2.77; 2.47; 0.97; 1.75; 1.55; |
[0, 4] |
|
0.12; 0.70; 1.19 |
|
|
|
|
7 |
2.56; 1.92; 2.85; 2.94; 2.39; 2.16; 2.51; 2.10; |
[-1, 2] |
|
1.77; 2.28; 1.70 |
|
|
|
|
8 |
1.77; 0.92; 2.21; 1.50; 3.21; 3.46; 3.70; 4.02; |
[-1, 3] |
|
4.36; 4.82; 4.03 |
|
9 |
1.53; 0.45; 1.68; 0.12; 0.68; 2.36; 2.58; 2.53; |
[4, 8] |
|
3.45; 2.70; 2.82 |
|
|
|
|
10 |
2.50; 3.90; 3.54; 4.63; 3.87; 5.25; 4.83; 3.24; |
[0, 5] |
|
3.08; 3.00; 4.70 |
|
|
|
|
11 |
2.95; 3.38; 2.71; 2.37; 2.29; 2.75; 2.76; 2.74; |
[1, 5] |
|
2.57; 2.40; 2.99 |
|
|
|
|
12 |
-0.23; -0.03; -0.98; -0.97; -0.43; -0.91; -0.27; - |
[2, 4] |
|
0.19; 0.88; 1.06; 0.72 |
|
|
|
|
13 |
2.36; 0.03; -0.38; -1.33; 0.25; -1.36; 0.95; 3.16; |
[0, 2] |
|
4.03; 4.92; 4.20 |
|
14 |
3.82; 4.07; 3.53; 4.83; 5.53; 5.04; 5.09; 5.87; |
[3, 4] |
|
5.53; 4.72; 4.73 |
|
15 |
2.35; 2.16; 2.39; 2.39; 2.18; 2.09; 2.44; 2.56; |
[-3, 4] |
|
3.35; 3.22; 2.65 |
|
|
|
|
Задание 2. Аппроксимировать многочленами 2-ой и 6-ой степени по методу наименьших квадратов функцию, заданную таблицей значенийxi и yi и сравнить качество приближений. Построить графики многочленов и отметить узловые точки (xi, yi).
Задание 3. Для приведенных в таблице экспериментальных данных (xi, yi)определить параметры линейной регрессии с использованием встроенных функций Mathcadslopeиintercept. Отобразить графически совокупность точек векторов xi и yi и результаты проведенной линейной регрессии.
Задание 4. Аппроксимировать данные из векторовxiи yi: полиномом 4- ойстепени при помощи функций regress и interp; наборами полиномов второго
14
порядка с помощью функций loess и interp, (при spanравном 0,5 и 2,5).Отобразите графически результаты аппроксимации.
Задание 5. Аппроксимировать экспериментальные данные из таблиц значений
xi и yi линейной комбинацией функций: f(x) = a1f1(x) + a2f2(x) + a3f3(x). Коэффициенты вектораа найти с помощью функции linfit. Отобразить
графически совокупность точек векторов xi и yi и результаты проведенной
линейной регрессии общего вида.
Варианты задания 5
№ вар. |
|
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e x |
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1/(1 + x2) |
e x |
sin (3x) |
|
3 |
|
1/(1 + x2) |
esinx |
x |
|
4 |
|
arctgx |
lnlnx |
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 / x |
e-x |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
cos(x/2) |
2 - cos x |
sin(x/2) |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1/(1 + ex) |
|
sin (3x) |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
ln (x + 5) |
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
1 / x |
|
1 / x2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
cos x |
1/(1 + x + x2) |
1/(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
e x |
cos4x |
- ex/2 |
|
14 |
|
|
ex/3 |
sin2 (3x) |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
1/(1 + x + x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
6. Аппроксимировать экспериментальные данные из таблиц |
||||
значенийxi и yi функцией вида: 
.
Параметры вектора u найти с помощью функции genfit. Отобразить графически совокупность точек векторов xi и yi и результаты проведенной
нелинейной регрессии общего вида.
15