Материал: Вычислительная математика. методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». Собенина О.В., Пак А.А
Задание 7. Выполнить сглаживание экспериментальной функции, заданной таблицей значенийxi и yi с помощью встроенных функций Маthcad: medsmooth, ksmoothи supsmooth. Результаты сглаживания.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MathCAD
Цель работы: изучить основы численного интегрирования и дифференцирования с использованием MathCAD.
Задание 1. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi)в точках хi = a + h i, i = 0, 1, ..., 8,
h=(b - a)/8 на отрезке [a, b].
Варианты задания 1
№ вар. |
|
f(x) |
|
[a, b] |
[c, d] |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
[0.4, 0.8] |
[2, 2.1] |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
[0.8, 1.6] |
[-1, -0.9] |
|
|
|
|
|
|
3 |
1/(x |
) |
|
[0.18, 0.98] |
[0.5, 0.6] |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
[0.8, 1.6] |
[2, 2.1] |
|
|
|
|
|
|
5 |
x2 |
|
|
[0, 0.4] |
[1.5, 1.6] |
6 |
x2 |
|
|
[0.8, 1.6] |
[1, 1.1] |
7 |
|
|
|
[0.4, 1.2] |
[2, 2.1] |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
[0.8, 1.2] |
[1, 1.1] |
|
|
|
|
|
|
9 |
(x + 1) sinx |
|
[1, 5] |
[1, 1.1] |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5x + xlgx |
|
|
[0.2, 1] |
[1.3, 1.4] |
|
|
|
|
|
|
11 |
(2x + 3) sinx |
|
[0.4, 1.2] |
[0.5, 0.6] |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
[0.4, 1.2] |
[1, 1.1] |
|
|
|
|
|
|
13 |
1/(1 + x + x2) |
|
[0, 4] |
[2, 2.1] |
|
14 |
|
|
|
[0.4, 0.8] |
[1.5, 1.6] |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
[0.4, 1.2] |
[0.5, 0.6] |
|
|
|
|
|
|
16
Задание 2.
Вычислить интеграл:
-с помощью встроенного оператора интегрирования;
-по формуле прямоугольников;
-по формуле Симпсона;
-с помощью встроенного оператора интегрирования и интерполяцией табличной функции кубическим сплайном (функции cspline и interp);
-методом неопределенных коэффициентов для численного интегрирования.
Задание 3.
Вычислить интеграл 
методом Монте-Карло:
-определить диапазон случайных чисел, например j: = 0..1000;
-определить с помощью функции rnd равномерно распределенную случайную величину Xj и Yj на отрезке интегрирования [a, b];
-создать вектор Tj = f(µj);
-с помощью функции mean вычислить интеграл.
Задание 4.
Найти первообразную аналитически заданной функции f(x), используя команду SymbolicIntegrateonVariable.
Задание 5.
Вычислить значения первой и второй производных функции f(x) в точке
Х = с:
-с помощью операторов дифференцирования Mathcad;
-методом неопределенных коэффициентов для численного дифференцирования.
Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в
точках хi= с + h*i, i = 0, 1, ..., 10, h = 0.01 на отрезке [c, d].
Задание 6.
Определить символьное значение первой и второй производных f(x),
используя команду SymbolicDifferentiateonVariable.
17
Варианты задания 6
№ |
f(x) |
№ |
f(x) |
|
№ |
f(x) |
вари |
|
вариа |
|
|
вари |
|
анта |
|
нта |
|
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
12 |
|
|
|
|
arccos |
-x |
|
|
|
|
|
х [2, 3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
MATHCAD
Цель работы: решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с использованием численных методов решения ОДУ.
Задание 1. Решить задачу Коши: dy /dx = f(x, y), y(0) = 1 с шагом h = 0.1 на отрезке [0, 1]:
-методом Эйлера;
-методом Рунге-Кутта (коэффициенты ki задать как функции от x и y);
-методом Адамса;
-используя функцию rkfixed.
Варианты задания 1
|
№ |
|
f(x, y) |
|
№ |
|
f(x, y) |
|
№ |
|
f(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
варианта |
|
|
|
варианта |
|
|
|
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x+ y |
|
6 |
|
2 y - cos 2 |
|
11 |
|
2 y + 3 e - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 x 2 + 2 y |
|
7 |
|
y - e x / 2 + |
|
12 |
|
y / 2 - e - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
e x - 3 y |
|
8 |
|
3 y - 2 sinx |
|
13 |
|
y + (cosx) /3 |
|
|
4 |
|
y - sinx |
|
9 |
|
e 2 x - y |
|
14 |
|
y - 4 x + 5 |
|
|
5 |
|
y / 3 - x 2 |
|
10 |
|
2 sinx + y |
|
15 |
|
2 x - y / 3 - e x |
|
18
Задание 2. Построить графики решений, полученных методами Эйлера,РунгеКутта,Адамса и с помощью функции rkfixed. Вычислить в точке х = 1 относительную погрешность для каждого метода.
Задание 3. Найти аналитическое (точное) решение ОДУ из задания 1 с помощью преобразований Лапласа (команды Symbolic, Transforms,
LaplaсеTransformиInverseLaplaceTransform).
Задание 4. Решить задачу Коши для системы ОДУ при заданных начальных условиях на отрезке [0, 2] c шагом h = 0.2. Решать с помощью функции rkfixed. Построить графики функций u(t) и v(t).
Варианты задания 4
№ |
Система |
|
Начальные |
|
№ |
Система |
Начальные |
|
|||
|
ОДУ |
|
|
|
|
|
ОДУ |
|
|
|
|
вариант |
|
|
условия |
|
вари |
|
условия |
|
|
||
а |
|
|
|
|
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
u(0) |
u’(0) |
v(0) |
v’(0) |
|
|
u(0) |
u’(0) |
v(0) |
v’(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1.5 |
1.5 |
1 |
1 |
9 |
|
2 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-1 |
1 |
-1.5 |
3 |
10 |
|
-1 |
2 |
-1.5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1.5 |
1.5 |
1 |
1 |
11 |
|
1.5 |
1.5 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1.5 |
0 |
2 |
12 |
|
-1 |
1.5 |
0 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0.5 |
1.5 |
-1 |
2 |
13 |
|
- |
1 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0.5 |
2 |
1 |
2 |
14 |
|
0 |
-2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
5 |
5 |
-1 |
1 |
15 |
|
3 |
3 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1.5 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. На отрезке [a, b] с использованием функций load, score иsbval преобразовать краевую задачу: d2y/dx2 = f(x, y, y’) при граничных условиях y(a) = А, y(b) = В к задаче Коши и найти решение заданного ОДУ в 10 промежуточных точках с помощью функции rkfixed.
19
Варианты задания 5
№ |
f(x, y, y’) |
Граничные условия |
||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
y(a) |
|
y(b) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
exy + cosx |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ysinx + e -x |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ycosx + tgx |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0.45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x3y + cosx |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x + exy/(1 - x) |
2 |
|
4 |
|
1 |
|
0.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x2y + 1/(1 + x) |
1 |
|
3 |
|
0 |
|
0.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
ycosx + cos2x |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(2 + x) y + arctgx |
0 |
|
3 |
|
0 |
|
0.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(5 - x) y + x |
2 |
|
4 |
|
0 |
|
-1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
e -x y + 2e -x |
0 |
|
1.5 |
|
2.4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
e -x y/x + x |
-3 |
|
-2 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
(x2 + 1/x) y + 1/x 2 |
2 |
|
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
(10 - x) y + x |
-1 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
y/x2 + x |
1 |
|
3 |
|
1.5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
ylnx + 1 + x |
7 |
|
8 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: изучение методов решения линейных уравнений, оценка и сравнение этих методов. Получение практических навыков решения систем линейных уравнений с использованием MATHCAD.
Программное средство: MATHCAD.
Задание
Решить систему линейных уравнений, используя MATHCAD.
Варианты
1. |
2. |
20