Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011

индекс i берется по оси a3, причем i = – (h + k), т.е. четвертый индекс равен сумме первых двух, взятой с противоположным знаком.

На рис. 2.5 плоскости гексагональной призмы обозначены с помощью трех и четырех индексов. Символы этих плоскостей в четырехиндексном обозначении отличаются только перестановкой первых

трех индексов формы {1010}. Таким образом, при обозначении с помощью четырех индексов легко обнаруживаются равнозначные плоскости. Однако расчеты в гексагональной системе для упрощения проводят с помощью трех индексов. Чет-

вертый индекс часто опускается и заменяется точкой, т.е. записывается (hk.l).

Символом {hkil} обозначают симметрично-равнозначные (эквивалентные) плоскости, которые переводятся друг в друга какимлибо элементом симметрии.

Система обозначений с четырьмя индексами может быть использована и для направлений в гексагональной решетке. Если в системе с тремя индексами направление R записывается в виде R(3) = Ua1 + Va2 + Wc, то в системе с четырьмя индексами оно запишется R(4) = ua1 + υa2 + ta3 + wc, где индекс t вводится условием u + υ + t = 0.

Переход от u, υ, t, w к U, V, W имеет вид

U = 2u + υ;

V = u + 2υ; (2.1)

W = w,

а обратный переход

u = 2U – V;

υ = 2V – U; (2.2) w = 3W;

t = – (u + υ).

26

Примеры перехода от системы обозначений с тремя индексами к обозначениям, в которых используются четыре индекса, даны на рис. 2.6.

Обозначения в четырех индексах позволяют найти симметрич- но-равнозначные (эквивалентные) направления <u υt w>.

Рис. 2.6. Индексы направлений в гексагональной системе

2.2. Обратная решетка

Базисные векторы обратной решетки bj задаются соотношением

(ai bj) = δij, (2.3)

где δij – символ Кронекера; δii = 1; δij = 0 (i, j = 1, 2, 3).

Из соотношения (2.3) следует, что вектор b1 перпендикулярен к векторам a2 и a3, поэтому его направление определяется векторным произведением

где V – объем ячейки, построенной на базисных векторах прямой решетки.

Базисные векторы b2 и b3 получают циклической перестановкой соотношения (2.4).

Как видно из (2.3), прямая и обратная решетки – взаимнообратные. Объемы ячеек прямой V и обратной решеток V* также являются взаимно-обратными величинами, т.е. V V* = 1.

В матричном виде условие (2.5) имеет вид

27

Метрические матрицы прямого G и обратного G–1 базисов являются взаимно-обратными, т.е. GG–1 = I .

Обратныеметрическиематрицыдлянекоторыхсингонийимеютвид

Базисные векторы прямой и обратной решеток можно представить в виде матриц A и B, причем если базисные векторы a1, a2, a3 прямой решетки в A представлены строками, а базисные векторы b1, b2, b3 обратной решетки – столбцами в B, то (2.5) можно записать как AB = I, или

Если матрица A состоит из базисных векторов ГЦК решетки в прямом пространстве, то A–1 – соответствует базисным векторам ОЦК решетки в обратном пространстве:

28

Причем если ГЦК-решетка в прямом пространстве построена на векторах длиной a и объемом a3, то в обратном пространстве ей соответствует ОЦК-решетка, построенная на векторах длиной 2/a и объемом 8/a3.

Вектор обратной решетки. Произвольный узел обратной ре-

шетки определяется вектором обратной решетки

HHKL = Hb1 + Kb2 + Lb3,

где H, K, L – целые числа с общим множителем q, т.е. H = qh, K = qk, L = ql.

Свойства вектора обратной решетки. Вектор обратной ре-

шетки Hhkl по направлению совпадает с нормалью к плоскости (hkl), а по модулю равен обратному значению межплоскостного

расстояния dhkl: |Hhkl| = 1/dhkl (рис. 2.7).

В дифракционных методах исследования, в частности в методе Лауэ, гномостереографические проекции плоскостей называют точками первого рода, а стереографические проекции направлений − точками второго рода. В кубических кристаллах все точки первого и второго рода совпадают, в тетрагональных кристаллах точки первого рода {hk0} и {001} совпадают с точками второго рода <hk0> и <001> соответственно.

В гексагональных кристаллах точки первого рода в четырехиндексном обозначении {hki0} и {0001} совпадают с точками второго рода <hki0> и <0001>, а в трехиндексном обозначении {hk0} и <hk0> не совпадают, тогда как {001} и <001> совпадают.

Матрица ортогонального преобразования. Для описания по-

воротных элементов симметрии используются матрицы ортогонального преобразования, которые сохраняют длины векторов и углы между ними. Для матрицы ортогонального преобразования A выполняется соотношение

29

exp(−iα), exp(+iα). При этом фаза α комплексного собственного значения называется углом поворота, а собственный вектор u с собственным значением λ = 1 – осью поворота.

Угол поворота α находят из следа матрицы поворота A:

trA = a11 + a22 + a33 = 1 + exp(−iα) + exp(+iα) = 1 + 2cosα.

Компоненты оси поворота определяются из элементов матрицы поворота A как

u1 : u2 : u3 = (a32 − a23) : (a13 − a31) : (a21 − a12).

Направляющие косинусы оси вращения u определяются как

Если поворот задан эйлеровскими углами φ, θ, ψ, то каждая из матриц поворота имеет простой вид в соответствующей повернутой системе координат (рис. 1.18). Так, матрицы первого поворота на угол φ вокруг оси z − Rz(φ), второго поворота на угол θ вокруг оси x′ − Rx′(θ) и третьего поворота на угол ψ вокруг оси z′ − Rz′(ψ) имеют вид:

30