Материал: Законы колебания упругой пружины Методические указания к лабораторной работе с элементами научных исследований в практикуме по физике для студентов всех специальностей и видов обучения
Выведем уравнение свободных колебаний, считая, что силы трения малы и ими можно пренебречь. В таком случае второй закон Ньютона можно записать в виде
ma = Fвозвр или ma = –kx,
где т – масса тела; а – ускорение.
Как известно, ускорение есть вторая производная от смещения по времени, т. е.
a dx2
dt2 x .
Следовательно,
mx kx или mx kx 0.
Разделив оба члена уравнения на массу и введя обозначение k/m = 2, последнее уравнение представим в виде
x 2 x 0 . |
(5) |
А теперь надо решить это дифференциальное уравнение, т. е. надо найти такую связь между смещением х и временем А, чтобы она удовлетворяла уравнение (5). Легко проверить, что эта связь дается выражением:
x Asin t 0 или x Acos t 0 . |
(6) |
Действительно, взяв вторую производную от x по времени, мы увидим, что полученное значение х обращает уравнение (5) в тождество.
В выражение (6) введены следующие величины:
A – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия;
t + 0 – фаза колебаний, т. е. аргумент синуса или косинуса при фиксированном времени, однозначно определяющем смещение точки;
0 – начальная фаза колебаний, соответствующая времени t = 0;
– угловая или круговая частота собственных колебаний, связанная
спериодом собственных колебаний:
= 2 /T.
Под периодом полного колебания Т подразумевается промежуток времени, в течение которого колеблющееся тело или точки пройдут каждую точку своего пути дважды: один раз – двигаясь в одном направлении, а в другой раз – двигаясь в другом направлении, т. е. это время возвращения точки в исходное состояние движения.
Поскольку собственная угловая частота 
k / m , то очевидно, что
|
|
|
|
T 2 m / k . |
(7) |
||
6
Из последней формулы видно, что период собственных полных колебаний зависит только от массы колеблющейся системы и от ее упругих свойств.
От того каким было начальное воздействие, зависит полная механическая энергия колеблющейся системы. При незатухающих колебаниях величина этой энергии остается постоянной и происходит периодически переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Поэтому можно считать, что полная энергия W равна максимальному значению потенциальной энергии или максимальному значению кинетической энергии. Тогда, принимая во внимание, что хмакc = А, можно написать
W = Wп макс= kA2/2.
Если сила трения велика, то часть энергии, расходуемая на ее преодоление, преобразуется в тепло и рассеивается. Амплитуда колебаний в этом случае с течением времени уменьшается. Такие колебания называют затухающими.
Цель работы и описание установки
Внастоящей работе ставятся три задачи:
1.Определить коэффициент жесткости пружины k .
2.Найти запас потенциальной энергии растянутой пружины Wп.
3.Определить период Т собственных колебаний пружины с грузом.
Установка, на которой производится работа, представляет собой вертикальную стойку, на которой закреплена зеркальная шкала с миллиметровыми делениями. Перед шкалой подвешена стальная пружина, на нижнем конце которой укреплен подвес (рис. 3). К установке прилагается набор гирь, которые следует помещать на подвес для растяжения пружины. Для того чтобы стойка находилась в вертикальном положении, основание ее снабжено двумя установочными винтами.
Об удлинении пружины судят по изменению положения верхней стороны подвеса. Во избежание параллакса при отсчете по шкале надо глаз располагать так, чтобы верхняя сторона подвеса совпадала с ее отражением.
7
Порядок проведения работы
1.Отметить по шкале положение ненагруженного подвеса. Записать отсчет L' и вес подвеса Р0 (указан на лабораторном столе).
2.Поместив на подвес гирю в 50 г, снова сделать отсчет. Затем добавить еще 50 г и опять сделать отсчет. Так поступать до тех пор, пока не исчерпаются все гирьки набора. После этого, разгружая пружину, повторить измерения в обратном направлении, снимая отсчеты L".
Для идеальной пружины отсчеты L' и L" для данной пружины должны были бы совпасть.
Можно считать, что для каждой нагрузки F реальный и наиболее точный отсчет соответствует
L = (L'+L")/2.
Полученные данные заносить в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1 |
|
Вариант а: F = mg, g = 9,8 м/с2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
F, |
|
L', |
|
|
L", |
|
L, |
|
п/п |
|
Н |
|
мм |
|
|
мм |
|
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант б: F = mg, g = 9,8 м/с2, P0 = масса подвеса (Н) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ |
|
P, |
F = P0 + P, |
|
L', |
L", |
L, |
|||
п/п |
|
Н |
|
Н |
|
мм |
мм |
мм |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. По полученным данным построить график зависимости силы F от длины пружины L.
Пользуясь графиком надо:
а ) найти коэффициент жесткости пружины k ;
б ) найти путем экстраполяции, какую длину L0 имеет пружина без подвеса, т. е. при F = 0 (массу пружины не учитываем);
8
в) найти запас энергии растянутой пружины Wп (работу растяжения) при самой большой нагрузке (формула (4)).
4. Чтобы определить период колебаний, надо на подвесе симметрично (во избежание возникновения крутильных колебаний) разместить несколько гирек набора. Затем, оттянув подвес на 1–3 см, отпустить его. По секундомеру надо отметить время t , за которое совершается п (40÷50) полных колебаний. Опыт надо повторить три раза, занося результаты в табл. 2.
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
|
m= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
n |
t, c |
T0, с |
T0, с |
|
п/п |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее:
5. Вычислить по формуле (7) значение периода, соответствующего массе т, использованной в предыдущем опыте, и сравнить со значением периода, полученным в пункте 4.
Естественно, что под массой m в пунктах 4 и 5 подразумевается масса гирек с подвесом.
Контрольные вопросы
1.Какие деформации называются упругими?
2.В чем заключается закон Гука?
3.Что называется пределом упругости?
4.Как рассчитать энергию упруго деформированного тела?
5.Какие колебания называются свободными? Под действием каких сил совершаются свободные колебания?
6.Что называется смещением? По какому закону меняется смещение при свободных колебаниях?
7.От чего зависит период свободных колебаний?
8.Учитываются ли силы трения в этой работе?
9
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
Теоретическое пояснение ................................................................................... |
4 |
Цель работы и описание установки ......................................................... |
7 |
Порядок проведения работы ....................................................................... |
8 |
Контрольные вопросы ................................................................................... |
9 |
С о с т а в и т е л и :
Ферсман Ирина Алексеевна Обухова Ирина Анатольевна
Лабораторная работа № 10
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПРУЖИНЫ
Методические указания к лабораторной работе с элементами научных исследований
в практикуме по физике для студентов всех специальностей
и видов обучения
Редактор Т. С. Хирувимова
Компьютерная верстка – Р. П. Абакаров
Подписано в печать с оригинал-макета 14.04.11. Формат 60 84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 0,5. Печ. л. 0,5. Тираж 150 экз. Заказ № 103. С 154.
Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТА 194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 5.
10