Документ: 1008, страницы 11-15

a

2

=

m2

+

m4

+

15 m ,

m =

3 e2m

;

(7)

2

32

6

2

0

a

=

m4

+

3

m , m =

5 e2m

;

16

4

2

6

4

2

a

6

=

m6

,

m = 7 e2m

4

32

2

6

или

a

n2

n4

3

15

2

15

4

35

3

X =

1+

+

B

−

n −

n

sin 2B

+

n

−

n

sin 4B −

n

sin 6B

1+ n

4

2

16

64

48

64

n =

α

+ α2

+

α3 +

α4

=

1

,,

(8)

2

16

4

8

2 f −1

где a – большая полуось эллипсоида; α –

сжатие; f – знаменатель сжатия.

На рис. 3 дуги меридианов обозна-

чены как ХII и ХI. Разность Х равна дуге в

И

метрах между соответствующими точ-

ками. Эта же дуга вычислена, кроме то-

го, какДBI" в секундах. Таким же образом

найдём дугу SII

в метрах и BII" в секун-

дахА.

Б

При разности широт в пределах

градусов

длину дуги

X

И

нескольких

найти по способу Симпсона (9).

∆X =

Bm

− B0

(M0 + M m + 4(M1 + M3 +... + M m−1 )+

С

3m

+ 2(M 2 + M 4 +... + M m−2 ))

(9)

где B0 и Bm – широты начальной и конечной точек дуги меридиана, Mi – радиус кривизны меридиана в заданной точке, вычисляют

по формуле (1);

m – число равных интервалов на которое делят дугу меридиана (m – чётное число).

При вычислениях дугу делят на 8 равных интервалов, находят широты промежуточных точек и радиусы кривизны меридиана в этих

~ 11 ~

точках. Первую точку считают нулевой. Значения широт в формуле

(9) выражают в радианах.

4. По формулам (7) или (8) вычислить дуги меридиана от экв а- тора до заданных точек для эллипсоида Ф. Н. Красовского и ГСК-

2011 г.

Вычислить разности дуг.

5.По формулам Симпсона (9) с учётом (1) вычислить дуги второй раз.

6.К сдаче представить:

–два варианта вычисления дуг, расхождения между вариантами для эллипсоида Ф. Н. Красовского,

–два варианта вычисления дуг, расхождения между вариантами для эллипсоида ГСК–2011.

2.3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида

Главные геодезические задачи, решаемые методами сфероиди-

ческой геодезии, позволяют определить геодезическиеИ

координаты B

и L некоторой точки или длину геодезической линии и ее азимут на

Б

Д

поверхности эллипсоида (рис. 4).

Решение ГГЗ для пунктов P

и Q сводится к решению сфероиди-

И

ческого треугольнка

PDQ. ПриАрешении ПГЗ известными являются

P

сторона DR =

900 – B1, длина геодезиче-

ской линии s и азимут этой линии A1. При

L

решении ОГЗ известными являются сто-

С

роны DR = 900 – B1, DQ = 900 – B2 и угол

∆L = L2 − L1 .

Следовательно,

решение

ГГЗ в свете сфероидической геодезии за-

A2-1

ключается в вычислении двух углов и

стороны сфероидического

треугольника,

A1-2

Q2 (B2, L2)

по известным двум его сторонам и углу

Q1 (B1, L1)

между ними.

Рис. 4. Полярный

Формулы сферической тригономет-

сфероидический треугольник

рии

используются только

для

решения

треугольника на шаре, поэтому для решения сфероидического треугольника используются специальные приемы.

Прием 1. Прямой путь решения, при котором используется ка-

кая-либо проекция поверхности эллипсоида на шар. По трем элемен-

~ 12 ~

там сфероидического треугольника находят элементы соответствующего ему сферического треугольника, который решают по формулам сферической тригонометрии. Затем выполняется обратный переход с шара на эллипсоид. Одной из лучных реализаций этого приема считается способ Бесселя.

Прием 2. Косвенный путь решения предполагает нахождение приращений геодезических координат и азимута, от которых осуществляется переход к искомым величинам. Этот прием был распространен для решения ГГЗ для рядов триангуляции при построении АГС в XX столетии. В связи с развитием принципиально новых методов создания ГГС и вычислительной техники этот прием потерял актуальность.

Прием 3. Сводится к редуцированию исходных величин на плоскость в некоторой проекции. Например, в проекции ГауссаКрюгера. ГГЗ решаются по формулам плоской тригонометрии, после

величин на поверхности эллипсоида переходятИк их значениям в пространственной прямоугольной системе координат. Дальнейшие вы-

чего выполняется обратное редуцтрование.

Прием 4. Решение ГГЗ в пространстве. Для этого от известных

числения ведутся по формулам аналитической геометрии с обратным
	Б
преобразованием найденных элементовДна поверхность эллипсоида.
И
Решение прямой и обратнойАгеодезических задач
С

Рассмотрим методы определения взаимного положения точек, расположенных непосредственно на поверхности земного эллипсоида.

Прямая геодезическая задача

Исходные данные: геодезические координаты B1 и L1 точки Q1 ,а также азимут A1-2 с точки Q1 на точку Q 2 и расстояние S между пунктами Q1 и Q2 (см рис.4).

Требуется определить широту B2 и долготу L2 точки Q2 и обратный азимут A2-1 с точки Q2 на точку Q1.

Прямая геодезическая задача решается главным образом при вычислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса. Зная координаты начального пункта, а так же расстояния и азимуты на соседние пункты вычисляют геодезические координаты и обрат-

~ 13 ~

ные азимуты для всех других пунктов, непосредственно связанных с начальным пунктом.

Исходные данные: по своему порядковому номеру в списке журнала преподавателя из табл. 4 взятьВ1 ; L1;S и А1 2 ..

Задание

Вычислить геодезические координаты L1 и L2 и обратный азимут А21 с пункта Q2 на пункт Q1.

Порядок выполнения задания

Порядок решения прямой геодезической задачи по способу Бесселя на эллипсоиде Ф. Н. Красовского

Исходными данными являются широта B1, долгота L1, длина

геодезической линии s и азимут A1 этой линии в начальной точке. Не-

обходимо найти широту B2 и долготу L2 конечной точки, и обратный

азимут A2 в этой точке. При вычислениях угловые величины необхо-

димо выражать в радианах.

И

1.

Вычисляем приведённую широту начальной точки:

Д

tgU

А1

;

; tgU

1−e2tgB . (10)

sinU

1

=

1

cosU

1

=

1

=

1+ tg

2U

1

+ tg2U

1

Б

2. Для переходаИот s к σ найдём вспомогательные величины A0 и

σ1 по формулам

С

tgα =

tgU1

, tgA = sin A1 cos A1 .

(11)

1

cosA1

0

tgU1

Введём обозначение k 2 = +e′2 cos A0

и вычислим коэффициенты

α, β, γ по формулам (12) и α1, β1 по формулам (13)

A =1+ k 2 −

3

k 4 +

5

k6

−...;

64

256

4

~ 14 ~

B = k 2

− k 4

+

15

k6

−...;

512

4

16

C =

k 4

4

+

512k6 +...;

128

1

k 2

7

4

15

6

k

;

α =

=

+

−

bA

b

1−

4

64

256

+...

B

2

4 4

37

β =

= k

− k

+

k6

−...

;

A

512

4

8

γ = C

k

4

k

6

=

−

+...

;

(12)

128

A

128

e4

e6

И

2

e6

4

+

A0

−

+

;

(13)

β1 =

16

... cos

32

... cos

A0

σ = αS + β sin σ cos(2σ1

Д

+σ)+ γsin 2σ cos(4σ1 + 2σ +...) .

(14)

А

αS .

За первое приближение примем

σ0 =

Б

Примем обозначения:

Iσ

= β sin σ0 cos(2σ1 +σ0 );

И

IIσ

= γsin 2σ0 cos(4σ1 +σ0 );

IIIσ = Iσ β cos(2σ1 +σ0 ).

Для вычисления σ" с погрешностью менее 0,001" получили

формулу

С

σ = σ0 + Iσ + IIσ + IIIσ.

(15)

Находим сферическое расстояние σ по формуле и затем σ2 = σ1 + σ. Решаем прямую задачу на шаре по формулам

tgλ1 = sin A0tgσ1 ;				tgλ2 = sin A0tgσ2 ;
tgA =	tgA0		;	tgU	2	= −cos A tgσ	2	;

2	cos σ2					2
		~ 15 ~

Материал: 1008

Смотрите также: