Материал: 1291
~ 51 ~
Глава 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОТНЫХ ПОТОКОВ
_____________________________________________________________________________
Рис. 8.5. Расположение двух автомобилей в пачке
Путь второго автомобиля lр2 за время реакции водителя связываем со скоростью v2 и временем τр:
lр2 = v2 τр.
Координата x1 первого автомобиля является суммой координаты x2 второго автомобиля с расстояниями b, lр2, l1 (см. рис. 8.5). Запишем
формулу суммы, учитывая время реакции τр:
x1 = x2 + b + l1 + τр v2. |
(8.5) |
Дифференцируем сумму (1) по времени t, полагая, что время реакции τр и расстояния b и l1 являются постоянными:
x1 =x2 +τр x2.
Связываем производные со скоростями v1, v2 и ускорениями j1, j2 автомобилей:
v1 = x1; v2 = x2 ; j2 = x2 .
В результате получаем первое дифференциально уравнение теории следования за лидером:
j2 = (v1 – v2) /τр. |
(8.6) |
По теории следования за лидером второй автомобиль движется с ускорением прямо пропорциональным разности скоростей автомобилей и обратно пропорциональным времени реакции водителя. Водитель выполняет функцию регулятора, реагируя на разность скоростей. Для
~ 52 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
водителя разность скоростей является внешним раздражением. Реакцией водителя на раздражение является ускорение (нажатие педали газ) или торможение (нажатие педали тормоз).
Исследованиями зарубежных ученых Д. Гейзис, Р. Герман и Р.
Потс [5], [6], установлено, что в формуле (8.6) время реакции τр не является постоянным. Оно зависит от средней скорости пары автомоби-
лей vП = (v1 + v2) / 2 и от расстояния между ними d = x1 – x2 – l1 – b (см. рис. 8.5). Поэтому вместо времени τр используют параметр реакции
водителя τ, c:
τ = d / vП; τ = 2 (x1 – x2 – l1 – b) / (v1 + v2). |
(8.7) |
Теперь легко видеть, что при большом расстоянии или низкой скорости водитель медленно реагирует на разность скоростей, а при малом расстоянии или высокой скорости – быстро.
Величину α, обратную времени реакции водителя, называют коэффициентом чувствительности водителя к разности скоростей:
α = 1 / τр.
Подставляем параметр τ из формулы (8.7) в формулу (8.5) и получаем уравнение
j2 = 0,5 VП (v1 – v2) (v1 + v2) / (x1 – x2 – l1 – b). |
(8.8) |
Уравнение (8.8) называют вторым (основным) уравнением теории
следования за лидером, в котором параметр τ является теперь переменным.
Используя уравнение (8.8), легко составить систему дифференциальных уравнений, описывающих движение пачки из числа n автомобилей:
j2 |
= 0,5 |
(v1 |
– v2) (v1 |
+ v2) / (x1 |
– x2 |
– l1 |
– b2); |
j3 |
= 0,5 |
(v2 |
– v3) (v2 |
+ v3) / (x2 |
– x3 |
– l2 |
– b3); |
j4 |
= 0,5 |
(v3 |
– v4) (v3 |
+ v4) / (x3 |
– x4 |
– l3 |
– b4); (8.9) |
………………..……………………………… |
|||||||
jn = 0,5 |
(vn – 1 – vn) (vn – 1 + vn) / (xn – 1 – xn – ln – 1 – bn). |
||||||
~ 53 ~
Глава 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОТНЫХ ПОТОКОВ
_____________________________________________________________________________
Система (8.9) состоит из числа n уравнений второго порядка. Для автомобиля номер k = 1, 2, …, n в уравнении участвует интервал безопасности bk и длина lk – 1 переднего автомобиля. Система описывает движение автомобилей в пачке, включая их остановку на расстояниях bk при полном торможении.
Однако формулы системы (8.9) не учитывают сцепных свойств дороги и тормозных свойств автомобилей. В таком виде система не пригодна для практического применения. Поэтому вводят ограничения на ускорения автомобилей по условиям движения и тормозным свойствам автомобилей.
Для интегрирования системы задают начальные условия, которыми являются начальные координаты xk и скорости vk автомобилей.
В методических указаниях [4] описаны подробно следующие положения, необходимые для расчета реального процесса торможения пачки автомобилей:
–учет сцепления и уклона участков магистрали;
–ограничение ускорений автомобиля по параметрам тормозных систем и сцеплению;
–выбор интервалов безопасности между автомобилями;
–расчет столкновений автомобилей;
–расчет пути автомобиля – лидера;
–расчет ограничений по времени реакции водителя.
Рассмотрим пример расчета движения пачки из 4 автомобилей при служебном торможении первого автомобиля с замедлением 3,5 м/с2 в течение 1,5 с. Считаем, что первый автомобиль №1 за время 1,5 с снизил скорость и движется с этой скоростью равномерно. Время реакции водителя примем 0,5 с (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Ускорения автомобилей при торможении лидера
~ 54 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
Имеем следующие особенности:
водитель №2, тормозит с запаздыванием; наибольшее замедление равно 4,2 м/с2; после торможения водитель дает газ и разгоняет автомобиль, что сопровождается увеличением расхода топлива;
водитель автомобиля №3 тормозит с большим запаздыванием; наибольшее замедление равно 4,4 м/с2; для выравнивания скорости он разгоняет автомобиль с ускорением 1,2 м/с2;
водитель последнего автомобиля №4, тормозит с замедлением 5,1 м/с2; он разгоняет автомобиль с ускорением уже 2,8 м/с2, применяя небольшое торможение для достижения скорости потока.
Расчеты показывают, если передний автомобиль в течение 1,5 с тормозит с замедлением 5 м/с2, то последний автомобиль уже тормозит юзом.
В целом графики на рис. 8.6 отражают обычную работу водителей при движении в потоке.
Рассмотрим теперь пример разгона пачки из 4 автомобилей при разгоне переднего автомобиля с ускорением 2 м/с2 в течение 0,7 c со скорости 16,7 м/с до 20 м/с (рис. 8.7).
Водители автомобилей №2, №3, №4 нажимают на педаль «газ» с запаздыванием и автомобили движутся с ускорением, которое больше ускорения переднего автомобиля. Для выравнивания скоростей водители применяют замедление, которое можно получить при торможении двигателем.
Существует другой подход к определению коэффициента чувст-
вительности водителя α и времени реакции [2]. Он основан на том, что при движении по дороге водитель видит перед собой сечение Q нахо-
дящегося перед ним автомобиля. Коэффициент α связывают с площадью этого сечения и получают дифференциальное уравнение, аналогичное выше рассмотренному:
k |
* |
= m (xn+1 |
− xn − ∆) (xn+1 |
− xn ), |
(8.10) |
|
|
|
|
|
где k* = f (Q0) коэффициент пропорциональности; m > 1 – степень, учитывающая нелинейность зависимости площади Q от расстояния ∆ между автомобилями; Q0, м2 – лобовая площадь автомобиля (площадь Миделя).
~ 55 ~
Глава 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОТНЫХ ПОТОКОВ
_____________________________________________________________________________
Рис. 8.7. Ускорения автомобилей при разгоне переднего автомобиля
Такой подход позволяет учесть состав ТП: если водитель, движется за автомобилем большого сечения, то для улучшения видимости выдерживает большую дистанцию.
При равномерном движении потока автомобилей расстояния между автомобилями выравниваются, и мы имеем устойчивое движение. Такое движение называют асимптотически устойчивым.
При движении потока с минимальными расстояниями между автомобилями образуются незатухающие колебания расстояний между ними. Движение становится колебательным.
Если в потоке имеют место кратковременные торможения отдельных автомобилей под действием внешних факторов, то движение не стабилизируется, образуются заторы. К образованию заторов приводит установка лишних светофорных объектов, оборудование чрезмерного числа пешеходных переходов, и др.
Теорию следования за лидером используют при расчете процесса разгона пачки автомобилей с перекрестка, при расчете заполнения очереди на перекрестке и др.
Теорию следования за лидером применяют при расследовании ДТП, в которых имело место столкновение автомобилей в пачке.
8.3. Макроскопические теории транспортного потока
В настоящее время разработаны различные математические модели плотных потоков, построенные на учете макроскопических явлений