Материал: 1310
Лабораторная работа № 6
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2 порядка)
Цель работы. Изучить численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и реализовать их в приложении для автоматизации решения задач.
Задание. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера (метод Рунге-Кутта 2 порядка):
1. |
y’ = yx+x, y(0) = 1, 0 ≤ x≤ 1, h = 0,2. |
|
|
|
||||||||
2. |
|
y' 2sin y 2, |
|
y(0) 0, |
x [0,3], h = 0,1. |
И |
|
|
||||
3. |
|
y' 2y 3x2, |
y(0) 1, x [0,2] |
, h = 0,01. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
y' cos(1 x)2 |
2x, |
y(1) 0, x [0,4], h = 0,1. |
|
|
||||||
5. |
|
y' (1 x)2 2y, y(0) 0, x [0,3], h = 0,1. |
|
|
|
|||||||
|
Для расчетов использовать следующую таблицу: |
|
|
|||||||||
|
|
h = |
0,1 |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
у |
|
f(x,y) |
|
б |
|
yi+1 |
|
||
|
|
|
|
xi+h/2 yi+1Дf(xi+1+h/2,yi+1^) |
|
|||||||
|
|
… |
… |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
Пример расчетов в Excell: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
Контрольные вопросы
1.Чем отличается метод Рунге-Кутта 2-го порядка от метода Эйлера?
2.Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод РунгеКутта 2-го порядка?
3.Как используется начальное условие задачи Коши в методе РунгеКутта 2-го порядка?
4.Какой вид функции используется для построения частного решения задачи Коши?
Лабораторная работа № 7
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта 3-го порядка
Задание. Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта 3-го порядка:
1. |
y' 3 3 x2 , |
y(2) 0, |
|
x [2;3,5]. |
|
И |
|||||
2. |
y' |
|
y2 |
y |
, |
y(1) 0,5, |
x [1,2]. |
Д |
|||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.y' |
|
|
ex |
|
|
, y(0) |
1, x [0,3]. |
|
|||
(1 e2x)y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
А |
|
||||||
4. y' ex y, |
|
y(0) 0, |
бx [0,2]. |
|
|
||||||
Для расчетов использовать следующую таблицу: |
|||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
h |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
f(x,y) |
|
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
0 |
|
1 |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
|
Контрольные вопросы
1.В чем отличие метода Рунге-Кутта 3 порядка и модифицированного метода Эйлера?
2.Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод РунгеКутта 3-го порядка?
3.Как используется начальное условие задачи Коши в методе РунгеКутта 3-го порядка?
4.Какие вспомогательные вычисления в методе Рунге-Кутта 4-го по-
рядка?
52
Лабораторная работа № 8
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Задание. Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка:
1. y' x ey, |
|
y(1) 1, |
x [1,2]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
y' y cosx, |
y(2) 0, x [2,4]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
y' |
|
y |
|
, |
|
y(1) 1, |
x [1,4]. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(1 x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. y' ex y, |
y(0) 1, |
x [0;1,3]. |
|
И |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для расчетов использовать следующую таблицу: |
|
|
|||||||||||||||||
|
h |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
f(x,y) |
|
|
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
|
R4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
олее точный результат? |
||||||||
1. Какой из методов Эйлера дает |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Сколько раз применяется формула метода Эйлера в метод Рунге- |
|||||||||||||||||||
Кутта 4-го порядка? |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Как используется начальное условие задачи Коши в методе Рунге- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кутта 4-го порядка?
4. Какие вспомогательные вычисления в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?
Лабораторная работа № 9
Алгоритмы одномерной оптимизации. Метод сканирования. Метод локализации экстремума
Цель работы. Изучить основные алгоритмы одномерной оптимизации, реализовать их в приложении для автоматизации процесса решения прикладных задач.
Задание. Создать приложение «Нахождение оптимальных размеров цилиндрического бака из жести».
53
х
y
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
х |
|||
|
|
А |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
б |
|
|
|
|
y |
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Найти оптимальные размеры цилиндрического бака с крыш-
кой из жести, при которых общая площадь поверхности была бы наименьшая, если известен объем бака v =100 л.
Найти:
Целевая функция : f (x) 2(π x2 v) min, x
проектируемые параметры : v
x (радиус), y |
|
(высота). |
2 |
||
|
π x |
|
54
Для определения оптимальных размеров использовать алгоритмы одномерной оптимизации (алгоритмы сканирования, локализации экстремума, золотого сечения и Фибоначчи).
P.S. Для вывода полученных результатов в ListBox необходимо написать процедуру на активацию формы:
Private Sub UserForm_Activate() ListBox1.Clear ListBox1.ColumnCount = 4
ListBox1.AddItem "Название алгоритма" ListBox1.List(0, 1) = "Радиус" ListBox1.List(0, 2) = "Высота" ListBox1.List(0, 3) = "Площадь поверхности" ListBox1.AddItem "Алг. сканирования"
1.Какова суть метода сканированияАД? И
2.Какой критерий завершениябвычислений в методе сканирования?
3.Какова геометрическая интерпретация методов сканирования и локализации экстремума?и
4.Какова последовательность вычислений в методе локализации экстремума? С
Цель работы. Изучить основные алгоритмы одномерной оптимизации, реализовать их в приложении для автоматизации процесса решения прикладных задач.
Задание.Создать приложение «Нахождение оптимальных размеров балки с прямоугольным поперечным сечением».
55