Материал: 2216

(8)

Каждый из интегралов по t, стоящих в скобках, существует, т.к. функция f t абсолютно интегрируема в интервале , , а следовательно, абсолютно интегрируемы и функции f t cos t и f t sin t.

Рассмотрим частные случаи формулы (8).

1. Пусть f x – четная. В этом случае f t cos t – функция четная, а f t sin t – нечетная, и мы получаем

2. f x – нечетная. Тогда по аналогии получим

(10)

Если функция f x определена только в интервале 0, , то её можно представить при x 0 как формулой (9), так и формулой (10). В первом случае доопределим на интервале , 0 четным образом, а во втором – нечетным.

Вернемся к формуле (8). Интегралы, стоящие в скобках, являются функциями от . Введем обозначения:

Тогда формулу (8) можно переписать так:

f x A cos x B sin x d .

0

(11)

Говорят, что формула (11) дает разложение функции f x на гармоники с непрерывно меняющейся от 0 до частотой . Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты выражается через функции A и B .

Если в формуле (9) положить

По формуле (14) определим синус – преобразование Фурье: