Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

				1
		ak			f x coskxdx 0;
		ak			f x coskxdx 0;

	1		f x sinkxdx			2
bk							xsinkxdx,
bk							xsinkxdx,
							0

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то

произведение f x sin kx есть функция нечетная, а f x coskx – четная и, следовательно,

	2			2
a0		f x dx;	ak		f x coskxdx;	bk 0,

		0			0

т.е. ряд Фурье содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при отыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданного функция является четной или нечетной.

Пример.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье четную функцию

f x с периодом							2 ,			на отрезке				0,				она задана равенством
y x (или y				x			на , . Эту функцию мы уже разлагали в
y x (или y				x			на , . Эту функцию мы уже разлагали в
ряд Фурье (см.					пример 2). Сейчас используем тот факт,																		что y –
четная, тогда bk					0.
2									2						2		xsinkx		coskx
a0		xdx; ak									xcoskxdx
a0		xdx; ak									xcoskxdx									k	2
	0										0							k		k		0
	0										0		0,			при k -четном;
	2												0,			при k -четном;
	2							k
						1			1				4		, при k -нечетном.
						1			1				4
	k2												k	2
													k				cos 2k 1 x
f x							4 cosx					cos3x					cos 2k 1 x
																				.
									12			32						2k 1 2		.
			2						12			32						2k 1 2

Ряд Фурье для функции с периодом 2

Пусть f x есть периодическая функция с периодом 2 , вообще говоря, отличным от 2 . Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле x t.


Тогда функция	f		t			будет периодической функцией от t с
Тогда функция	f		t			будет периодической функцией от t с

периодом 2 . Её можно							разложить в ряд	Фурье на отрезке
x .
				a	0
f		t			0		ak coskt bk	sin kt ,
f		t		2			ak coskt bk	sin kt ,
				2			k 1
(2)

где	a0	1

t dt 0

;

t sinktdt.



		f		t cosktdt;

Возвратимся теперь к старой переменной x:

t t

x; dt

dx.

Тогда будем иметь: t , то

x .

f x dx 0;

f x cos

dx;

f x sin

dx.

(3)

Формула (2) получит вид

f x

ak cos

x bk

sin

(4)

k 1

где a0, ak , bk вычисляются по формулам (2). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 . На него распространяются все свойства рядов для функции с периодом

2 .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f x с периодом 2 , которая на отрезке , задается

равенством f x x (рис. 6).

5	4	3	2		0		2	3	4	5	x
					Рис. 6

Решение. Так как рассматриваемая функция четная, то

		2
bk 0;	a0		xdx ,
bk 0;	a0		xdx ,
			0

	2		k		2
ak		xcos		xdx
					2
		0				0

	0,				при k -четном;
	4
xcoskxdx	4			,	приk -нечетном.
	2	k	2	,	приk -нечетном.
		k

Следовательно, разложение имеет вид

2k 1

4 cos

cos

2k 1

О разложении в ряд Фурье непериодической функции

Пусть

на

некотором

отрезке a, b

задана

кусочно-

монотонная функция f x . Покажем, что данную функцию f x в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную кусочно-монотонную функцию f1 x с периодом 2 b a (рис. 7), совпадающую с функцией f x на отрезке a, b (т.е. дополним определение функции f x ).

f x f1 x

0 a b 2 4 x

Рис. 7

Разложим f1 x в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка a, b (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f x , т.е. мы разложим функцию f x в ряд Фурье на отрезке a, b .

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция f x задана на отрезке 0, . Дополняя определение этой функции произвольным образом (четное или нечетное продолжение) на отрезке , 0 , раскладываем её в ряд Фурье (рис. 8, а), б)).

а) «Четное продолжение»	б)	«Нечетное продолжение»
	б)	«Нечетное продолжение»
y		y

Рис. 8

Примеры.

1. f x x на отрезке 0, в ряд Фурье по синусам (рис. 9). Решение. Продолжая эту функцию нечетным образом, получим ряд

x 2	sin x		sin2x	sin3x
					.

		1	2	3

										0								x
									Рис. 9
2. Разложить функцию								f x x					на отрезке						0, в ряд по
косинусам.																			, четное
Решение. Давая этой функции на отрезке																			, четное
продолжение, т.е. f x						x	, получим (рис. 10)
продолжение, т.е. f x						x	, получим (рис. 10)
	x			4 cosx						cos3x					cos5x
				4 cosx						cos3x					cos5x
																			.
		2				2				3		2				5		2
						2						2						2
						1
Итак, на отрезке 0, имеет место равенство
	x		4		cosx				cos3x					cos5x
																				.
		2				2				3	2					5	2			.
		2				1				3						5

Рис. 10

Лекция № 25. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА

Представление функции бесконечным рядом (Фурье, Тейлора и т.д.) имеет на практики тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n-ом члене, является

приближенным выражением разлагаемой функции; это приближенное выражение можно довести до какой угодно степени

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры