Материал: 2216

Чудеса нельзя приводить в доказательство.

Талмуд

Необходимое не приедается.

Сенека

Рекомендуемая литература

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-

ние. – М.: Интеграл-пресс, 1997. – Т.2. – 416 с.

2.Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – СПб.: Специальная литература, 1996. – 371 с.

3.Гусак А.А. Высшая математика. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – Т. 2. – 445 с.

4.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Под редакцией А.Н.Тихонова. – М.: Проспект, Московский университет, 2007. – Ч. 2. – 357 с.

Лекция № 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Под уравнением в математике понимают равенство, из которого надо найти какую-нибудь неизвестную величину или функцию.

Если неизвестная функция входит под знак производной, это уравнение называется дифференциальным, если под знак интеграла – интегральным.

Примеры:

0

заданные функции, x – неизвестная функция – интегральное

уравнение; u u 0, где u u x, y – неизвестная функция –

x y

дифференциальное уравнение в частных производных.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую

2. y xy x2y y3 1 – дифференциальное уравнение 2-го порядка.

3. y y 0 – дифференциальное уравнение 3-го порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения

называется всякая функция y f x , подстановка которой в уравнение обращает последнее в тождество.

График решения называется интегральной кривой данного уравнения.

Рассмотрим простейшие дифференциальные уравнения:

1) y f x . Решением его будут все первообразные для

функции f x , т.е. y f x dx C. Таким образом, решение

представляет собой множество функций, зависящих от произвольной постоянной C.

Пример.

y 2x y 2xdx C: y x2 C.

Геометрически решение представляет собой одно семейство интегральных кривых, получаемых посредством сдвига.

2) y f x . Очевидно, что y f x dx C , откуда

y f x dx C1 dx C2 или y f x dx dx C1x C2.

Таким образом, решение представляет собой множество функций, зависящих от двух произвольных const, и может быть записано в виде

y x,C1,C2 .

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

y x,C1,C2, ,Cn ,

(2)

зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая уравнению (1) при всех значениях этих констант, доставляемых формулой (2).

Определение. Если уравнению (1) удовлетворяет функция y, определяемая неявно из уравнения

x, y,C1,C2, ,Cn 0,

(3)

то уравнение (3) называется общим интегралом дифференциального уравнения (1).

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

К дифференциальным уравнениям приводят многочисленные задачи естествознания. Рассмотрим ряд таких задач.

Задача № 1. Известно, что скорость распада радия прямо пропорциональна наличному количеству радия. Определить количество радия R в момент t, если в начальный момент t0 было

R0.

Обозначим коэффициент пропорциональности через k .

Скорость распада в данный момент dR dR kR. dt dt

Запишем, согласно условию задачи, дифференциальное уравнение 1-го порядка, при этом начальное условие R/t t0 R0.

Разделяя переменные

dR k dt

R

и интегрируя, получим общее решение

R Ce kt .

Подставляя в общее решение начальное условие, найдем константу C.

C R0 ek t0 .

Тогда решение дифференциального уравнения при заданном начальном условии (частное решение) будет иметь вид

R R0 e k t t0 .

Теперь при заданном значении коэффициента k , которое определяется по табличному значению величины полураспада радия, можно определить количество радия в любой момент времени.

Задача № 2. С некоторой высоты сброшено тело массы m. Найти скорость его падения, если кроме силы тяжести действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (рис. 1).

Запишем основное уравнение динамики в виде ma F1 F2,

где a – ускорение; F1 – сила тяжести; F2 – сила сопротивления.

F2 k

F1 mg

Рис. 1

Иначе это уравнение можно представить как

m d k mg , dt

где – скорость падения.

Поделив обе части уравнения на m и сделав подстановку

p k , m

получим дифференциальное уравнение в виде

d p g . dt

Решив полученное дифференциальное уравнение, найдем величину скорости падения тела. Решение этого типа уравнения рассмотрим ниже.

Задача № 3. Материальная точка массы m притягивается к центру с силой, пропорциональной удалению от центра. Найти закон движения точки.

Основное уравнение динамики в векторном виде имеет вид

F ma ,

где F – сила; a – ускорение.

Представим эти величины в проекции на ось Ox(рис. 2):

Fx.

Врезультате получим закон движения точки, заданный

уравнение гармонических колебаний; k частота колебаний.

Лекция № 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

Дифференциальное уравнение 1-го порядка связывает только переменную x, неизвестную функцию y и её производную y , т.е. имеет вид:

F x, y, y 0.

(1)

Мы будем рассматривать уравнения, разрешённые относительно y , т.е. уравнение вида

y f x, y .

(2)

Его будем записывать зачастую в форме dy f x, y или в dx

симметричной форме: