Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

точности путем выбора достаточно большого значения n. Однако характер приближенного представления может быть различным.

Так, например, сумма n первых членов ряда Тейлора Sn совпадает с рассматриваемой функцией в одной точке и в этой точке имеет производные до n-го порядка, совпадающие с производными функции.

Прежде чем рассмотреть, какой характер имеет приближенное

представление	периодической			функции	f x
тригонометрическими многочленами вида
		a0
Sn	x		ak coskx bk sinkx ,

где a0, ak и bk –	2		k 1
	коэффициенты Фурье,			т.е. суммой n	первых

членов ряда Фурье, сделаем несколько замечаний. Допустим, что рассматриваем некоторую функцию y f x на отрезке a, b и хотим оценить погрешность при замене этой функции другой –x . Можно за меру погрешности взять max f x x на отрезке a, b , т.е. так называемое наибольшее уклонение функцииx от функции f x (рис. 1).

y f x

Рис. 1

Но иногда естественнее за меру погрешности необходимо брать так называемое среднее квадратичное уклонение , которое определяется равенством

	1		b
2			f x x 2dx.
		b a

На рис. 1 видно различие между средним квадратичным уклонением и наибольшим уклонением.

Вернемся теперь к нашей задаче. Пусть дана периодическая с периодом 2 функция f x . Среди всех тригонометрических многочленов n-го порядка:

2		n
2
	0		k	coskx k sinkx .
		k 1	k	coskx k sinkx .
		k 1

Требуется найти путем выбора коэффициентов k и k тот многочлен, для которого среднее квадратичное уклонение,

определяемое равенством

				n					2
	1		0
2		f x			k	coskx	k	sinkx		dx,

	2	2
				k 1

имеет наименьшее значение.

Задача сводится к нахождению минимума функции 2n 1 переменных 0, 1, , n, 1, , n. В результате получим, что среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от функции f x имеет тот многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции f x .

Величина наименьшего квадратичного уклонения равна

	2				1					a2			1	n
n							f 2 x dx			0				ak2 bk2	.
n					2		f 2 x dx			2			2	ak2 bk2	.
														k 1
Так как n2	0 , то при любом n имеем
			1			f 2 x dx			a02		1		n	a2 b2 .
		2				f 2 x dx					2			a2 b2 .
		2				2					2			k k
												k 1
Следовательно, ряд, стоящий справа, при n сходится, и
можно записать
				1		2
				1	f 2 x dx			a0					ak2 bk2 .
					f 2 x dx								ak2 bk2 .
						2				k 1

(1)

Это соотношение называется неравенством Бесселя. Отметим без доказательства, что n2 0 при n . Тогда из

формулы (1) вытекает равенство

2		1
a0	ak2 bk2		f 2 x dx,
2
	k 1

которое называется равенством Ляпунова-Парсеваля.

Это равенство доказано для значительно более широкого класса функции, чем тот, который мы рассматриваем (т.е. кусочномонотонных функций). Таким образом, для функции, удовлетворяющей равенству Ляпунова-Парсеваля, соответствующий ряд Фурье дает среднее квадратичное уклонение, равное нулю.

Отметим без доказательства также следующее свойства коэффициентов Фурье для кусочно непрерывной на отрезке a, b функции f x .

Т е о р е м а. Если функция

f x – кусочно непрерывная на

отрезке ,

a, b , то её коэффициенты Фурье стремятся к

нулю при n :

lim a

lim b 0.

n n

Интеграл Дирихле

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Фурье для

периодической функции f x с периодом 2 :

coskx b

sinkx ,

k 1

где ak

f x coskxdx; bk

f x sinkxdx; a0

f x dx.

Подставляя эти выражения в формулу для Sn x , преобразуя,

получим

sin 2n 1

f x

d .

2sin

(2)

Интеграл, стоящей в правой части формулы, называется

интегралом Дирихле.

f x 1,

a0 2;

ak 0;

Положим в

этой формуле

тогда

bk 0

при k 0,

следовательно,

Sn x 1 при

любом

n. В

результате получим тождество

1	sin 2n 1
		2
			d 1.

	2sin

	2

Практический гармонический анализ

Теория разложения функций в ряды Фурье называется

гармоническим анализом.

Сделаем несколько замечаний о приближенном вычислении коэффициентов ряда Фурье, т.е. о практическом гармоническом анализе.

Как известно, коэффициенты Фурье для функции f x , имеющей период 2 , определяются по формулам:

f x dx; ak

f x coskxdx; bk

f x sinkxdx.

Во

многих

случаях,

встречающихся

на

практике, f x

задается или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента), или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором. В этих случаях коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближенных методов интегрирования.

Будем рассматривать промежуток x длины 2 . Этого можно добиться соответствующим выбором масштаба по


оси Ox.			Разделим	промежуток	, на n равных частей
точками			x0 ,	x1, ,xn .	Тогда шаг деления будет равен
x	2	. Значения функции f x в точках x				0	,x , ,x	n	обозначим
x		. Значения функции f x в точках x					,x , ,x		обозначим
	n						1
	n

соответственно через y0, y1, , yn .

Эти значения мы определяем или по таблице, или по графику данной функции измерением соответствующих ординат. Тогда, пользуясь, например, формулой прямоугольников, определяем коэффициенты Фурье:

	2	n		2	n		2	n
a0	2	yi ;	ak	2	yi coskxi ;	bk	2	yi sinkxi .
a0	n	yi ;	ak	n	yi coskxi ;	bk	n	yi sinkxi .
		i 1			i 1			i 1

Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см. литературу). Существуют приборы (гармонические

анализаторы), которые по графику данной функции позволяют вычислить приближенные значения коэффициентов Фурье.

Интеграл Фурье

Пусть функция f x определена на бесконечном интервале, и абсолютно интегрируема на нем, т.е. существует интеграл

f x

dx Q.

(3)

Пусть, функция

f x

такова,

что она разлагается в любом

интервале , в ряд Фурье:

f x

an cos

x bn sin

(4)

n 1

где

f t cos

tdt;

f t sin

tdt .

(5)

Подставляя в ряд (4) выражения коэффициентов (5) и

переходя к пределу, при , получим

f x f t cos t x dt

d .

(6)

Стоящее справа выражение называется интегралом Фурье для функции f x .

Преобразуя интеграл, стоящий в правой части равенства (6), раскрыв cos t x , имеем:

cos t x cos tcos x sin tsin x.

(7)

Подставляя (7) в формулу (6) и вынося cos x и sin x за знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t, получим

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры