Материал: 3859

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2) e x dx e 1 e;

	1
	b
	b
3)			0;
3)		f (x)dx	0;
	a

4)f (x)dx f (x).

87.Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2; y=0; x=-1; x=1, равна:

1) x 2 dx;

2) x 2 dx;

3) x 2 dx;

4) 2 x 2 dx.

88. (1 x)2 dx равен:

1) x x 2	x3	c;

3

2)x x3 c; 3

3)(1 x)3 c; 3

4) x	x 2		x3	c.

2		3

89.Укажите верные соотношения

1) cos xdx 1;

2) dx 1;

3) e x dx e 1 e;

4) f (x)dx F (b) F (a).

90. Определите знаки указанных определенных интегралов:

1) ln xdx;

0,2

2) ln xdx;

3) cos xdx;

4) xdx.

91. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3; y=0; x=-1; x=1, равна:

1) x3 dx;

2) x3 dx;

3)x3 dx x3 dx;

1 0

4) 2 x3 dx.

92.Функции, являющиеся первообразными одной и той же функции:

1) 2x и 2x+4;

2) 2x и 2x-1;

3)sin(x) и sin(x)+2;

4) 2x и 2x+1.
Дополните утверждения
93. Дифференцируемая функция F(x) называется		для f(x),
определенной на том же промежутке, если F'(x) = f(x).

94. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке, называется интегралом.

95. Графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси .

96. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то функция F(x)+ C также является для f(x) на том же промежутке.

97. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической интегралов от этих функций в отдельности.

98. Постоянный множитель можно

за знак интеграла.

99. Если интегрируемая на [a;b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью Ox и прямыми x=a; x=b.

Решение типовых задач на нахождение неопределенных интегралов

Задача 1. Вычислить интеграл

2 33 x2 5x dx

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

				3	5
2 33 x2 5 x			2 x	3	5	1

				2 3 x	6 5
				2 3 x	6 5	x
	x	3				x
		3

Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

																												3												5
		2 33 x											2 5 x															3					dx 3 x							5					dx
																												x
																						dx 2									2									6 dx 5
																						dx 2									2									6 dx 5
												x			3																														x
															3																														x

						3		1											5		1
			x	2										3		x		6						5ln						c							4				186				5ln		c
			x	2												x		6											x								4						x			x

				3														5
																																						x
							1													1																		x
				2			1											6		1
Проверка:
				4																																			1			1
																																							1			1

									186							x				5ln					x	c									4x		2				18x 6			5ln x c
									186							x				5ln					x	c									4x		2				18x 6			5ln x c
					x



											1						1	1									1	1				1				1						2			2			1
											1							1									1					1				1
		4													x	2							18					x 6						5						x		3	2		3x 3 5x			2
		4													x	2							18					x 6						5						x		3	2		3x 3 5x			2
											2																6									x

	2 33								x 2 5
	2 33								x 2 5								x

										x3

Задача 2.

Вычислить интеграл		sin xdx


	1 2cosx

Решение:

Первый способ. Полагая

1 2cosx t , 2sin xdx dt , получим

sin xdx

2 dt

2t 2

t c

1 2cosx c

1 2cosx

Второй способ.

sin xdx

1 2cosx

Умножая и деля на –2 и замечая, что 2sin xdx d(1 2cosx) , получим

		sin xdx				1			d 1 2cosx		1	1					1	d 1 cosx
												1			cosx		2	d 1 cosx
																	2
	1 2cosx					2				1 cosx	2
							1	1				1
								1				1
			1 1 2cosx				2			c 1 2cosx					c		1 2cosx c
			1 1 2cosx				2							2
			2	1	1									2
			2	1
				2
												2sin x							sin x
												2sin x							sin x
Проверка:							1 2cosx c
											2
											2		1 cosx					1 2cosx
Задача 3. Вычислить интеграл																x 1
																				dx
																x2 2x 3				dx

Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, заменить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.

Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:

x 2x 3 x 1 2 2 . Далее, заменяя x 1 t , dx dt , получим:

		x 1 dx					x 1 dx			tdt		1		d t 2 2	1	ln t2 2 c

	x 2 2x			3	x 1 2				2	t2 2	2			t2 2	2
	x 2 2x			3	x 1 2				2	t2 2	2			t2 2	2
		1	ln x 2 2x 3 c
	2		ln x 2 2x 3 c
	2
						1	ln x2	2x 3 c			1			2x 2				x 1
Проверка:						1					1			2x 2				x 1
Проверка:													2				2
											2 x		2	2x 3		x	2	2x	3
					2						2 x			2x 3		x		2x	3

Задача 4. Вычислить интеграл x ln xdx .

Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод

интегрирования по частям. Положив ln x u , dv

x dx , найдем:

dx x

. Подставляя в формулу

dx ;

udv u v vdu , получим

						2			2						2			2			dx
																	x
	x ln xdx							x 3 ln x										3
	x ln xdx					3		x 3 ln x							3			3			x
						3									3						x
2					2				1					2								4									2						2
			3															3								3							3
			3															3								3							3
		x		ln x			x 2 dx									x				ln x					x		c					x		ln x					c
		x		ln x			x 2 dx									x				ln x					x		c					x		ln x					c
3					3									3								9									3						3
									2									2						2										2
									2		x3		ln x					2	c					2				x3		ln x				2		x	3 ln x
											x3		ln x						c									x3		ln x						x	3 ln x
									3															3
Проверка:									3									3						3										3
Проверка:
							2			3								2							1								2			2
																							3
																							3
												x ln x										x							x ln x						x			x
							3			2		x ln x						3				x			x				x ln x				3		x	3		x
							3			2								3							x								3			3

		2
		2


		3

x ln x

При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.

Решение типовой задачи на нахождение площади фигуры с помощью определенных интегралов

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2 – х2 .

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

y x

x 2

y 2

-2

х – 2 + х2

= 0

х1

= –2; х2

= 1

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры,

ограниченной двумя кривыми: S f2 x f1 x dx

При а = –2, b = 1, f2(x) = 2 – x2, f1(x) = x

Получим:

				x		x		1
	1	2 x 2 x dx			3		2
S		2 x 2 x dx	2x
				3		2			2
	2			3		2			2

	1	1		8		9
2			4		2		4,5

	3	2		3		2

Источник: https://studfile.net/preview/16413891/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры