Материал: 4718

3

1

2

3

1

2

3

1

y

1

1

2

1

1

2

1

1 3 ( 1) 3 1 ( 2) 2 ( 2) 1 1

2

1

3

2

1

3

2

1

2 ( 1) ( 2) 1 ( 2) 3 3 1 1 9 4 2 4 6 3

16;

3

2

1

2

1

3

2

3

z

1 2

1

1 2

1

1 2

3 2 1 2 ( 1) 2 1 1 ( 1)

2

1

1

2

1

1

2

1

2 2 1 ( 1) ( 1) 3 1 1 2 6 4 1 4 3 2

8.

Тогда x

x

8

1,

y

y

16

2,

z

z

8

1.

8

8

8

Сделаем проверку:

3 1 2 ( 2) 2 ( 1) 1

1 1

1 2

(

2)

2 (

1)

1

;

1

1

верно.

2 1

(

2)

3 (

1)

1

1

1

Таким образом, система имеет единственное решение x 1,

y 2,

z 1.

140 – 149. Пирамида ABCD задана координатами

вершин.

Пользуясь

понятиями и формулами векторной алгебры, найти:

1)

длину ребра AB ;

2)

угол между ребрами AB и AD ;

3)

площадь грани ABC ;

4)

объем пирамиды.

1)

Координаты

вектора

находятся

по

формулам:

a

ax i

ay

j

az

k

ax

x1

x0 ,

ay

y1

y0 ,

az

z1

z0 ,

где

(x0 ; y0 ; z0 )

– координаты

начала,

(x1; y1; z1)

–

координаты

конца

вектора

a.

Тогда

длина вектора

a

равна

ax2

ay2

az2 .

a

Рассмотрим вектор AB. Точка A(6;6;2) является началом, а точка B(5;4;7) –

концом вектора AB. Следовательно, вектор AB имеет следующие координаты:

AB

{5

6; 4

6; 7

2}

{

1;

2; 5}, а значит

AB

(

1)2

(

2)2

52

1

4

25

30 .

2)

Косинус

угла

между

векторами

может быть найден по

a

и b

формуле:

a b

cos

,

где

a b

ax bx ay

by

az

bz

–

скалярное

произведение

a

b

векторов a и b .

Для того, чтобы найти угол между

ребрами AB и AD , введем в

рассмотрение векторы AB и AD.

Так как координаты вектора AB и его длина

известны, определим координаты и длину вектора AD :

AD

{7

6; 3

6; 0

2}

{1;

3;

2},

AD

12

( 3)2

( 2)2

1 9 4

14 .

39

Тогда

cos

AB AD (

1) 1 ( 2)

(

3)

5 ( 2)

5

AB

AD

30

14

30

14

или cos

5

0,24 . Отсюда

arccos(

0,24)

104 .

2

105

1

формуле S

a

b

, через векторное произведение

2

i

j

k

a b

ax ay

az

(aybz

azby ) i (axbz

azbx ) j (axby

aybx ) k .

bx

by

bz

Площадь грани

ABC

есть площадь треугольника

ABC ,

построенного на

векторах AB и AC . Так как AC

{

4; 2; 5}, тогда

i

j

k

AB

AC

1

2

5

(

10

10)

i

(

5

20)

j (2

8)

k 0 i 15

j

6k ,

4

2

5

а значит

1

1

1

1

S

ABC

AB

AC

02

(

15)2

(

6)2

225

36

261

2

2

2

2

1

3

9 29

29

8,1.

2

2

4)

Объем V

треугольной пирамиды, построенной на векторах a , b ,

c

1

находится по формуле V

(a

b )

c

.

6

1

В

нашем случае

V

( AB

AC)

AD

.

Так

как

AB

AC

{0;

15;

6},

6

V

1

1

57

57

9,5 .

0 1 ( 15) ( 3) ( 6) ( 2)

6

6

6

1.

Общий курс высшей математики для экономистов [Текст] : учеб.

пособие / под ред. В. И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 2003. – 656 с.

2.

Высшая математика

для экономистов [Текст]

:

учеб.

/

под ред.

Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2008. – 479 с.

3.

Ильин, В. А.

Линейная алгебра

[Текст] : учеб.

/ В.

А. Ильин,

Э. Г. Позняк.– М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 280 с.

Дополнительная литература

4.

Привалов,

И.

И.

Аналитическая

геометрия

[Текст]

:

учеб. /

И. И. Привалов. – СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2007. – 304 с.

5.

Берман, Г.

Н.

Сборник задач по

курсу математического

анализа.