Материал: 4718

и существует конечный и отличный от нуля предел lim

un

k (0 k

), то оба

vn

n

с рядом

1

(обобщенный гармонический ряд), который сходится при

1 и

n 1 n

расходится при

1.

Первым рядом является ряд

1

1

1

1

1

,

2

10

30

68

n (n2

1)

а в качестве второго ряда выберем ряд

1

1

1

1

1

,

8

27

64

n3

который является обобщенным гармоническим рядом с

3 1 (это сходящийся

ряд).

Так как un

1

,

vn

1

, то

n (n2

1)

n3

lim

u

n

lim

n3

lim

n2

lim

1

1 .

vn

n (n

2

1)

n

2

1

1

1

n

n

n

n

n2

Получили, что k

1(0 k

). Тогда по признаку сравнения оба ряда ведут себя

исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

в)

Степенной ряд

a

a x

a

x2

a

xn

абсолютно сходится

0

1

2

n

при

x

R , где R

lim

an

, и расходится при

x

R ,

если последний предел

an 1

n

существует и является положительным числом

(в этом случае R называют

радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( R; R) – интервалом

сходимости этого ряда).

По условию задачи

a

4n

a

4n 1

,

n

,

3

n

n 1

3

n

1

поэтому

R lim

a

n

lim

4n 3 n 1

lim

1 n 1 1

lim 3 1

1 1

.

3

3 n 4n 1

n

an 1

n

n

4

n

4 n

n 4

27

Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при

x

1

(то

4

1

1

1

,

1

;

1

есть при

x

;

)

и расходится при

x

а интервал

является

4

4

4

4

4

интервалом сходимости этого ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x

1

получаем знакочередующийся ряд

4

1

1

(

1)n

1

.

3

2

3

3

3 n

Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.

1

1

Сравним

u

n

и

u

n 1

.

Так как 3

n 3 n

1 при всех n

N , то

3 n

3

n

1

1

1

. Следовательно,

первое условие признака Лейбница выполнено, т.е.

3 n

3 n

1

члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине.

Так

как

lim un

lim

1

0 ,

то

второе

условие

признака

Лейбница

3

n

n

n

При

x

1

данный степенной

ряд

превращается в

числовой ряд

с

4

положительными членами

1

1

1

1

,

3

3 2

3 3

n

который

является обобщенным

гармоническим рядом

с

1

1

и,

3

следовательно, расходится.

Таким

образом, промежуток

1

;

1

является областью

сходимости

4

4

Контрольная работа

100 – 109. Найти матрицу D

k M

N F , если известны матрицы M , N , F

и число k .

3

0

4

1

1

2

1

0

1

100.

M

2

2

3 ,

N

0

1

2 ,

F

2

1

2 ,

k

2 .

1

1

2

5

3

1

1

1

2

7

1

3

4

1

2

1

0

3

101.

M

5

1

2 ,

N

2

0

2 ,

F

1

2

4 ,

k

2 .

0

1

4

3

1

2

1

2

4

0

1

2

1

3

0

3

1

0

102.

M

3

1

2 ,

N

2

2

4 ,

F

2

1

3 ,

k

3 .

3

3

2

3

1

1

5

1

2

1

0

2

4

0

2

1

1

2

103.

M

3

1

2 ,

N

1

1

3 ,

F

0

1

2 ,

k

3.

5

4

1

5

1

2

5

5

0

1

5

4

5

1

2

1

0

4

104.

M

2

2

4 ,

N

0

3

1 ,

F

2

2

3 ,

k

4 .

1

1

2

2

3

1

3

7

2

1

1

2

3

1

4

1

1

2

105.

M 3

5

2 ,

N

3

2

0 ,

F

4

0

2 ,

k

4 .

5

3

1

1

1

2

2

4

3

1

0

4

3

1

2

3

5

4

106.

M

2

3

1 ,

N

0

6

2 ,

F

2

0

3 ,

k

5 .

1

1

5

2

3

0

1

1

4

1

1

2

1

2

2

1

1

3

107.

M

0

1

2 ,

N

1

2

3 ,

F

5

0

2 ,

k

5.

1

3

3

1

1

2

5

3

1

3

3

4

1

1

1

4

0

1

108.

M

2

4

3 ,

N

0

1

2 ,

F

2

3

3 ,

k

1.

1

3

0

5

3

4

1

1

2

1

1

2

2

0

4

2

1

2

109.

M

0

2

1 ,

N

3

1

3 ,

F

1

0

4 ,

k

6 .

5

3

1

4

1

5

1

3

1

29

0

3

4

1

0

2

3

0

3

10*. M

1

2

2 , N

2

1

7 , F

1

2

3

, k 3.

1

1

2

5

3

1

1

2

1

Решение задачи 10*. Для нахождения матрицы D

3 M

N F вычислим

отдельно матрицы

3 M и N F , а затем найдем их сумму.

0

3

4

3 0

3 3

3 ( 4)

0

9

12

3 M 3

1

2

2

3 ( 1)

3 2

3 2

3

6

6 .

1

1

2

3 1

3 1

3 2

3

3

6

Произведением матрицы

A размерности m

p и матрицы B размерности

p n

называется матрица

C

размерности m n,

каждый элемент которой cij

p

определяется

формулой:

cij

aikbkj , i

1,...,m,

j

1,...,n. Таким образом,

k 1

элемент cij

представляет

собой

сумму

произведений

элементов i –й строки

матрицы A на соответствующие элементы

j –го столбца матрицы B .

1

0

2

3

0

3

N F

2

1

7

1

2

3

5

3

1

1

2

1

1 3 0 1 2 1

1 0 0 ( 2) 2 2

1 3 0 3 2 ( 1)

2 3 ( 1) 1 7 1

2 0 ( 1) ( 2) 7 2 2 3 ( 1) 3 7 ( 1)

5 3 3 1 1 1

5 0 3 ( 2) 1 2

5 3 3 3 1 ( 1)

3

0

2

0

0

4

3

0

2

5

4

1

6

1

7

0

2

14

6

3

7

12

16

4 .

15

3

1

0

6

2

15

9

1

11

4

7

Суммой матриц A и B одинаковой размерности m

n называется матрица

C той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц

A и B , стоящих на тех же местах: cij

aij

bij , i

1,...,m, j

1,...,n.

0

9

12

5

4

1

D 3 M N F

3

6

6

12

16

4

3

3

6

11

4

7

0

5

9

4

12

1

5

5

13

3

12

6

16

6

(

4)

15

10

10 .

3

(

11)

3

(

4)

6

(

7)

14

7

13