Материал: 4718

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

11*. а)

б)

Решение задачи 11*

а)

Определителем второго порядка

называется

число,

полученное с

помощью элементов квадратной матрицы

a11

a12

2-го порядка следующим

a21

a22

образом:

a11

a12

a11

a22

a21

a12 .

a21

a22

Тогда

4 5

2 (

б)

1 способ – правило Саррюса.

a11

a12

a13

определителю

третьего

порядка

a21

a22

a23

справа

приписываются

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a11

a12

первый и второй столбцы

a21

a22

a23

a21

a22 . Затем элементы, стоящие на

a31

a32

a33

a31

a32

диагоналях полученной таблицы, перемножаются, и эти произведения складываются, причем произведения элементов на диагоналях, идущих снизу вверх, берутся со знаком минус:

						a11	a12	a13	a11	a12
						a11	a12	a13	a11	a12
						a21	a22	a23	a21	a22
						a31	a32	a33	a31	a32
	a11 a22 a33		a12	a23 a31	a13		a21 a32 a31		a22	a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12 .
	Имеем
3	2	2		2	2		3	2
3	2	2	3	2	2		3	2
1	3	2	1	3	2		1	3 3 ( 3) 3 2 ( 2) 2 2 1 4
2	4	3	2	4	3		2	4

2 ( 3) 2 4 ( 2) 3 3 12 27 8 8 12 24 6 3.

2 способ – разложение по элементам строки или столбца.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: aij

– выбранный элемент определителя, M ij

– его минор.

Алгебраическим дополнением Aij элемента определителя называется его

минор M

, взятый со знаком (

1)i j , то есть A

( 1)i j M

Например,

рассмотрим

определитель

третьего

порядка

Найдем минор и алгебраическое дополнение элемента

a21 5.

Минор будет

равен определителю второго порядка, полученному из исходного вычеркиванием второй строки и первого столбца, на пересечении которых расположен элемент

a21 5:
M			3	2 4 ( 1) 3 8 3 11 .
		2	3
	21	1	4
		1	4

Алгебраическое дополнение элемента a21 равно:

A ( 1)2 1	M	21	( 1) 11 11.
21		21

Справедливо следующее утверждение: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

a11 a12 a13

Для примера рассмотрим определитель третьего порядка a21 a22 a23 и

a31 a32 a33

разложим его по элементам первого столбца:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	a11 A11 a21 A21 a31 A31.
a31	a32	a33

При вычислении часто используется следующее свойство определителей: величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

3 2 2

Рассмотрим заданный определитель 1

2 .

2 4 3

Умножим элементы второй строки на ( 3) и сложим с соответствующими элементами первой строки, а затем элементы второй строки умножим на ( 2) и

сложим с соответствующими элементами третьей строки и разложим полученный определитель по первому столбцу.

Имеем

	3	2		2		3 1 ( 3)			2 ( 3) ( 3) 2 ( 2) ( 3)									0 11		8
	1	3		2		1				3				2				1	3	2
	2	4		3		2 1 ( 2)			4 ( 3) ( 2) 3 ( 2) ( 2)									0 10		7
0		A	1 A			0 A	0	1 (	1)2 1	M	21	0	1 (	1)3			8	1 (11 7		10 8) 3
0		A	1 A			0 A	0	1 (	1)2 1	M		0	1 (	1)3		11	8	1 (11 7		10 8) 3
		11		21	31											10	7
																10	7
120 – 129. Найти обратную матрицу A 1 к заданной матрице A .
120.		A		2	6 .						125.		A	3	6 .
				4	11									9	19
121.		A		2	4 .						126.		A	3	6 .
				6	13									2	5
122.		A		2	8 .						127.		A	4	8 .
				6	23									2	3
123.		A	2		6 .						128.		A	4	12 .
			10		31									2	5
124.		A	3		9 .						129.		A	4	16 .
			6	17										2	7
12*. A				5	10 .
				2	3
		Решение			задачи		12*. Матрица					A 1	называется				обратной		к квадратной
матрице			A ,	если A A 1				A 1	A	E ,	где		E –	единичная				матрица,		у которой

элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, а остальные – нулю. Для того, чтобы матрица A имела обратную необходимо и достаточно,

чтобы ее определитель был отличен от нуля, то есть

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

найти

A ;

если

0, то обратная матрица не существует;

если

0, то к исходной матрице

a11

a12

справа приписываем

a21

a22

единичную матрицу

и путем элементарных преобразований расширенную

a11

a12

матрицу

приводят к виду

a11

a12

;

a21

a22

a21

a22

				~	~
4)	обратная матрица имеет вид	A	1	a11	a12	;
4)	обратная матрица имеет вид	A		~	~	;
				a21	a22
5)	сделать проверку A A 1 A 1 A			E .

Замечание. Следующие преобразования строк матрицы:

–умножение любой строки на число, отличное от нуля;

–прибавление к строке другой строки, умноженной на любое число;

–перестановка строк;

–отбрасывание нулевой строки

называются элементарными.

Применим этот алгоритм к нахождению обратной матрицы для заданной

матрицы A	5	10 .
	2	3

Сначала убедимся в том, что обратная матрица существует. Для этого вычислим определитель исходной матрицы

5	10	5 ( 3) 2 ( 10)	15 20 5 0.
2	3	5 ( 3) 2 ( 10)	15 20 5 0.
2	3

Следовательно, обратная матрица существует. Для ее нахождения расширенную


матрицу	5		10		1	0	путем элементарных преобразований приведем

	2		3		0	1

	1	0		~	~

к виду				a11	a12	. Сначала разделим первую строку расширенной
				~	~
	0	1		a21	a22

матрицы на 5, затем умножим ее на ( 2) и сложим с соответствующими

элементами второй строки. Вторую строку полученной матрицы умножим на 2 и прибавим к элементам первой строки. Имеем

5		10	1	0		1	2				0	1	2		1	0
									1
									1
										5					5
										5					5
2		3	0	1		2	3			0	1	0	1		2	1
	1	0			2										5

			3
			5
			5			.
			2			.
	0	1	2		1
	0	1	5		1
			5
							3			2
Тогда обратная матрица A						1	5			2	.
						1	5
							2			1
							2
							5
							5
Сделаем проверку A A 1						A 1	A	E .
		5	10	3			2		5		3	( 10)	2	5 2		( 10) 1
A A	1	5	10		5		2		5		5	( 10)	5	5 2		( 10) 1
	1				5						5		5
		2	3	2			1			2	3	( 3)	2	2 2 ( 3) 1
		2	3	2	5		1			2	3	( 3)	2	2 2 ( 3) 1
					5						5		5

								35
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1
				3	2	5	10	3		5	2 2	3		(	10)	2 (	3)
A	1	A		5	2	5	10	5		5	2 2	5		(	10)	2 (	3)
	1			5				5				5
				2	1	2	3	2		5	1 2	2		(	10)	1 (	3)
				2		2	3	2	5			2	5
				5					5				5
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1

130 – 139. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

	3x 4 y 3z			2		2x 5y z 1
130.	x	3y	z	1	135.	3x	2 y			3z	1
	2x 2 y 3z			1		x 3y 2z 2
	2x 3y 3z			1		3x 2 y 4z					1
131.	3x	y	4z	1	136.	2x	3y		3z		1
	x	3y	z	1		x	y	3z			2
	3x y 3z			1		3x 4 y 2z 3
132.	x	3y	3z	1	137.	2x	y		z	1
	2x y 2z 1					4x 3y 2z 3
	3x 2 y 3z 2					2x y 3z 1
133.	2x	y	z	1	138.	3x	2 y			2z	1
	x	2 y	z 0			x	y	3z		2
	2x 3y 4z 3					2x y 5z 1
134.	x	3y	2z	4	139.	x	3y		4z		1
	3x y 5z 3					2x y z 1
	3x 2 y 2z 1
13*. x 2 y			2z	1
	2x	y	3z	1

Источник: https://studfile.net/preview/16414754/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ

								35
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1
				3	2	5	10	3		5	2 2	3		(	10)	2 (	3)
A	1	A		5	2	5	10	5		5	2 2	5		(	10)	2 (	3)
	1			5				5				5
				2	1	2	3	2		5	1 2	2		(	10)	1 (	3)
				2		2	3	2	5			2	5
				5					5				5
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1

								35
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1
				3	2	5	10	3		5	2 2	3		(	10)	2 (	3)
A	1	A		5	2	5	10	5		5	2 2	5		(	10)	2 (	3)
	1			5				5				5
				2	1	2	3	2		5	1 2	2		(	10)	1 (	3)
				2		2	3	2	5			2	5
				5					5				5
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1

								35
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1
				3	2	5	10	3		5	2 2	3		(	10)	2 (	3)
A	1	A		5	2	5	10	5		5	2 2	5		(	10)	2 (	3)
	1			5				5				5
				2	1	2	3	2		5	1 2	2		(	10)	1 (	3)
				2		2	3	2	5			2	5
				5					5				5
	1		0	E .
	0		1	E .
	0		1