Материал: 5560

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ПР12. Умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю, а затем – на выражение, сопряжённое к знаменателю. Сократив скобки,

раскройте неопределённость 00 :

1) а) lim										x						1			2	;							б) lim													x				1			2						;											в)					lim									x		10					3			;				г) lim									x		9		3	;
1) а) lim																				;							б) lim																										;											в)					lim																			;				г) lim														;
				x 5						x 4 3																						x 3								x 2 1																													x		1								x 5 2																		x 0		2				x 4

2) а) lim									2x							1			1			;					б) lim														4x			9											3			;						в) lim									2								x				1		;					г) lim								3x			2		2			;
2) а) lim																						;					б) lim																															;						в) lim																							;					г) lim																;
				x	0					x 4 2																						x	0							x 2														2															x		3					3x 7 4																					x 3		1				3x 1
				x	0																											x	0																																				x		3																					2

3) а) lim									3x							2								x			2		;										б) lim												3x 1														x				3		;													в)		lim												3x 7					1				;
3) а) lim																													;										б) lim																																;													в)		lim																					;
				x	2											x 5 3																											x	1												2x 7 3																														x					2			x 5								2x 7
				x	2																																						x	1																																										x					2

4) а) lim											3x					2									x		2				;								б)				lim										2x						3									x			2			;										в)		lim										3x			7					x	3			.

									2x 5																																											2x 6															3x 7																											2x 5
				x	2				2x 5														3x 3																				x	1								2x 6															3x 7																			x					2			2x 5									4x 9
				x	2																																						x	1																																										x					2
		Пример 17. Умножим, чтобы получить разность квадратов:

lim			3x 16 4																						3 0 16 4																						0											lim						3x 16 4 3x 16 4 x 5																																							5

																																															0
				x 5												5									0 5												5																												x 5													5 x 5															5 3x 16 4
x	0			x 5												5									0 5												5																					x	0						x 5													5 x 5															5 3x 16 4
x	0																																																									x	0

				lim					3x							16					16									x			5									5							lim								3x					x				5							5							3lim										x		5							5


				x 0									x 5 5 3x 16 4																																					x 0 x 3x 16 4																																	x 0						3x 16 4

						3									0				5						5			3						2			5									6	5							1,677.
																																	4				4										8
								3 0											16						4
								3 0											16						4
		Пример 18. Так же, как в примере 17,

lim					5x 1													x 7															5 2 1														2 7																			3 3							0


			6x 4														3x 10											6 2 4																			3 2 10 4 4																										0
x	2		6x 4														3x 10											6 2 4																			3 2 10 4 4																										0
x	2

				lim										5x 1												x 7 5x 1																									x 7 6x 4																										3x 10


												6x 4													3x 10 6x 4																														3x 10 5x 1																									x 7
				x	2							6x 4													3x 10 6x 4																														3x 10 5x 1																									x 7
				x	2

				lim				5x								1						x			7								6x				4											3x						10									lim							4x			8									6x				4									3x				10

									6x 4													3x 10																5x 1															x 7																																												x 7
				x	2				6x 4													3x 10																5x 1															x 7											x		2						3x 6 5x 1																									x 7
				x	2																																																											x		2

				lim		4 x										2					6x						4								3x							10									4				lim						6x					4									3x					10
				lim																																																			lim
				x 2				3 x 2 5x 1																												x 7															3 x 2									3 5x 1																			x 7
			4				6 2									4									3 2			10									4					4					4							4					8							16					1,778.

			3																																		3					3					3							3					6							9
								5 2											1						2			7
								5 2											1						2			7
		Иррациональные пределы при x																																											в случае неопределённости																																															нахо-
		Иррациональные пределы при x																																											в случае неопределённости																																															нахо-

дят подобно рациональным, при помощи старших степеней, а в случае неопре-

делённости сводят её к при помощи сопряжённого выражения.

Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:

1) а) lim

sin x

;

б)

lim

sin x

;

в) lim

cos x

;

г)

lim

sin x

;

д)

lim

cos3x

;

x 0

x 2

sin 3x

cos4x

2) а) lim

;

б) lim

sin x

;

в)

lim

;

г)

lim

cos x

;

д)

lim

cos6x

cos x

x 0

sin 3x

cos3x

cos4x

Пример 19. Легко видеть, что

а)

lim

/ 2

;

cos 2

/ 2

cos

cos2x

sin 3x

sin 3

/12

sin

/ 4

2 / 2

б)

lim

2 .

cos4x

cos 4

/12

cos

/ 3

1/ 2

Предел

lim

sin x

1 помогает,

если

при

вычислении тригонометрических

x 0

функций получается

неопределённость

Оказывается,

если

при x

функция

0 , то выполнено приближённое равенство

sin

arcsin

arctg

x ,

и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если ар-

гумент

0 , указанные функции являются эквивалентными бесконечно ма-

лыми (предел их соотношения равен 1).

Так,

arcsin 0,002

0,002,

tg ln 0,97

ln 0,97 ,

поскольку ln 0,97 0 . Как приме-

нить это при вычислении пределов, показано в примерах.

ПР14. Раскройте неопределённость

при помощи эквивалентных беско-

нечно малых величин:

lim

sin 2x

;

б) lim

;

в) lim

sin 3x

;

г) lim

arctg 2x

;

д) lim

sin3x

;

x 0

sin 3x

x 0

sin 4x

x 0

tg 4x

sin2 2x

sin2 3x

sin2

lim

; б) lim

; в) lim

;

г) lim

sin 4x

;

д) lim

sin x

sin2 2x

sin 2x

x 0

Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то

а)

lim

sin 6x

sin 6 0

lim

arctg 2x

arctg 2 0

x 0

б)

lim

sin2

6 0

lim

6x 2

lim

36x2

lim

;

2 sin2 3x

2 sin2 2 0

3x 2

18x2

0 2

x 0

в)

lim

sin 4x

sin 4

lim

0,22 .

3sin

3 3

x 0

ПР15. Раскройте неопределённость

при помощи эквивалентных беско-

нечно малых и тождества 1

cos

2 sin2

1) а) lim

cos x

;

б) lim

cos4x

;

в) lim

cos2x

;

г) lim

cos4x

;

sin2 6x

x 0

cos3x

2) а) lim

cos x

;

б) lim

sin 4x

;

в) lim

cos x

;

г) lim

cos2x2

sin3x

cos2x

cos6x2

cos

x 0

Пример 21. lim

cos6x

cos 6 0

cos0

cos4x

cos 4 0

cos0

lim

2 sin2

6x / 2

lim

sin2

lim

9x2

lim

2,25.

2 sin2

4x / 2

sin2

x 0

2 sin2

6x / 2

2 sin2 3x

Пример 22. lim

1 cos6x

lim

2 sin2

0 1

cos4

x 0

x / 2

0 2 sin2

lim

sin 3x

lim

0,525

2 2

(учли, что по смыслу задачи x

0 , иначе

не существует).

При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:

tg x 2 sin

x x2

lim

tg x

sin x

lim

tg x 1

cos x

lim

x 0

4 x 0

Попытка перейти в числителе к разности x

x приведёт к ошибке: либо решим,

что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.

Второй замечательный предел

Предел	lim 1	1		x	e	2,718 применяют для раскрытия неопределённостей

		x
	x	x
	x
вида 1 ,	связанных				с	показательными функциями f x a x . Равносильное
		1				2,718
свойство: lim 1 y			y	e		2,718
y	0

Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.

Схема применения 2-го замечательного предела

Пусть при x

x0 оказалось, что g x

1 , а h x

. Тогда

g x

h x

1 .

Считаем, что g x

x , где

0 при x

x0 . Тогда

g x h x

x h x

x h x .

x h

x .

Поскольку lim 1

e , то lim 1

lim e

x x0

Найдём предел lim

x h x , и если он равен числу A, то весь предел равен eA .

ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) lim

2 x ;

б) lim

2 x ;

в) lim

x ;

г) lim

2 x ;

2x 2

x 1

x 2

x 1

x 0

2) а) lim

x 1

;

б) lim

;

в) lim

2 x ;

г)

lim

2 x .

5 x

5 3x

x 0

x 1

Пример 23. lim

1 x

1 2

0,286 .

ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функ-

ции y

a x , а именно – её значениями при x

, когда a

1 или 0

a 1:

x 1 x

x 1

3x 1

а)

lim

;

б) lim

;

в) lim

;

г) lim

;

2x 1

2x 2

а)

lim

x 1

x ;

б) lim

3x 1

x ;

в) lim

3x 1

x ;

г) lim

2 x .

2x 1

2x 4

3x 5

В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.

Пояснение. Если		a 1, то	lim a x	и	lim a x	0 . Если 0 a 1, то
			x		x
lim a x	0 и lim a x	. При a	0 зависимость		f x a x	не является функцией
x	x

(точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).

Пример 24.

lim

2 4 x

? Видно, что

lim

1,5 .

Тогда, поскольку при a

1,5

1 величина a

обращается в 0,

lim

4 x

lim 1,54 x

1,54

1,5 4

1,5

0 .

1,5

Пример 25.

lim

7 2 x

? Находим

lim

0,8 .

Основание a

0,8

1 , а в этом случае a

0 . Поэтому

lim

2 x

lim 0,82 x

0,82

0,8 2

0,8

0 .

Пример 26. lim

? Здесь

lim

3 x

Но функция y

– это то же, что y

. А эта функция стремится к 0 при

0, x

и обращается в

при x

. Тогда lim

, x

Источник: https://studfile.net/preview/16711220/

Смотрите также:

laba_3_indikator3
Обучение говорению как виду речевой деятельности в контексте международного взаимодействия студентов
Понятие и виды пособий по временной нетрудоспособности (при заболевании, карантине, санаторнокурортном лечении, протезировании, по уходу за членом семьи)
Расчёт надежности блока стабилизаторов катушечного магнитофона
Стиль педагогической деятельности как фактор изменений в мотивационной сфере личности студентов