Материал: 5560

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость 1 , когда аргумент стремится к бесконечности:

2 x

1) а)

lim 1

б)

lim 1

;

в)

lim 1

;

г)

lim 1

;

2 x

3 x

x 3

x 2

2) а)

lim

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

x 2 x

x 2

x 1

3) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

x 3

2x 2

3x 2

4x 2

4x 3

4) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

2x 1

3x 1

4x 3

4x 1

5x 2 2 x

4x 2

3x 2

6x 2

5) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

4x 3

5x 4

3x 5

6x 5

4 x

Пример 27.

lim 1

lim e x 6

lim e 6

e 3 .

Пример 28. Найдём lim

. Представим основание так:

2x 4

2x 4 2x 3

2x 3

(а лучше сразу заметить, что

Тогда

lim

lim 1

Но lim

lim

0,7 . Поэтому lim

10x 15

10x

2 x	3 7			x		7 x

7		2 x	3 5
7		2 x	3 5		lim e10 x		15 .
					lim e10 x		15 .
					x
x

5		lim e0,7 e0,7					2,014 .
		lim e0,7 e0,7					2,014 .

ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость 1 , когда аргумент стремится к 0:

а) lim 1

2x 1 x ;

б) lim 1

2x 3 x ;

в)

lim 1 3x

1 x ;

г)

lim 1 3x

1 x ;

x 0

а) lim 1

;

б) lim 1

;

в)

lim 1

;

г)

lim 1

x 0

Пример 29. Преобразовав степень, получаем

6 x

а)

lim e x 3x

lim e x e 6 ;

lim 1 3x

x 0

		2

б)	lim 1	3x 5 x	1	lim 1	3x
		4			4
	x 0			x 0

ПР20. Найдите пределы

6 x

lim e 4

5 x

lim e 20 x

e 10 .

x 0

1) а)

lim

2x 1

x 1

;

б)

lim

x 2

;

в)

lim

x 1

;

г) lim

3x 4

x 2

;

3x 4

2x 1

x 1

x 2

x 1

x 2

2) а)

lim

3x 1

x 1

;

б)

lim

5x 3

2 x

;

в)

lim

x 4

x 1

;

г) lim

3x 8

x 2

x 1

2x 3

2 x

x 1

x 2

x 1

Пример 30. Найдём lim

3 x 3

1 . Здесь

4x 3

1 1

4x 3 2x 3

2x 6

2x 3

и тогда

2 x 3 2 x 6

2 x

6 1

4x 3 x 3

2x 6 x 3

2x 6 2 x 6 2 x 3 x 3

lim

lim 1

lime 2 x

3 x

3 .

2x 3

x 3

В степени присутствует

, но

2 x

, поэтому

2x 3 x 3 2x 3 x 3 2x 3

2 x 6 1

lim e 2 x 3 x 3

lim e 2 x

e 2 3

e 9 . Это и есть ответ.

x 3

Пример 31. Найдём

lim tg x

cos 2 x

. Представив tg x

tg x 1

ем, что lim 1

tg x 1

lim 1 tg x

lim ecos 2 x

cos 2 x

tg x

cos 2 x

1 tg x 1 , получа-

		tg x	1
lim		cos 2 x
ex			.
	4

Теперь находим lim								tg x		1		0			. Преобразуем показатель степени так:
Теперь находим lim								cos2x						0	. Преобразуем показатель степени так:
						x
						x
				4
					sin x			1
	tg x	1										1						sin x			cos x					1
					cos x																									.


	cos2x			cos2 x				sin2 x				cos x				cos x sin x				cos x sin x					cos x	cos x		sin x
Тогда lim			tg x	1								1									1			4		4			1.
			cos2x																								2	2
																								2 2 2
	x						cos				cos					sin			2		2
	x																		2		2
		4																				2
									4				4				4
									4				4				4		2				2

Ответ: e 1 .

§ 5. Непрерывность функций

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»; б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция f xx(целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целом x. Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция f x	3	x,	x	1	непрерывна.
Пример 1. Покажем, что функция f x	x2	1,	x	1	непрерывна.

Функция f x 3 x элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при x 1, как требует условие.

То же справедливо для функции f x x 2 1 , и при x 1 она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка x 1. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

а)

lim f

lim 3

x 3

2 ;

1 0

x 1 0

б)

lim f

lim x2

0 2

1 2 .

1 0

x 1 0

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке x

б) если да, то совпадает ли f

1 со значениями пределов слева и справа.

По условию, если x

1, то f x

x 2

1 . Поэтому f 1

2 .

Видим, что lim

lim

f x

(все равны числу 2). Это означает, что в

x 1 0

точке x

1 функция непрерывна. Итак,

функция непрерывна на всей оси, вклю-

чая точку x

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число 1 0 или 1 0 . Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же 1 0 и

1	0 отвечают только за выбор функции;
	б) как правило, обозначения	f 1 0 и lim f x равноправны, то же касается
		x 1 0
обозначений f 1 0 и lim f x		(и справедливо для любой точки, а не только для
	x 1 0
x	1). Дальше для краткости применяются обозначения вида f 1 0 ;
	в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фак-

тически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию	f x	4	x2 , x	3	.
		2x	11, x	3

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке x 3. Проверим:


а) f 3 0	3 0 3	f x	4 x2 4 x2	x 3		4 32	5 ;
б) f 3 0				x 3		2 3 11 5 .

	3 0 3	f x	2x 11 2x 11		x 3
			2x 11 2x 11		x 3
Пределы слева и справа равны, но в самой точке						x 3 функция не определена

(неравенства строгие). Это означает, что x 3 – точка устранимого разрыва.

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из нера-

венств нестрогим,	или придумать для отдельной точки x	3 функцию, значение
которой при x 3	равно –5, или просто указать, что f 3	5 , чтобы вся функ-
ция f x стала непрерывной.
Ответ: точка x	3 – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция f x

cos x,

В точке x

а) f 0

0 0

f x

cos x

x 0

cos0

б) f 0 0

0 0 0

f x

2 2

x 0 2 .

Пределы слева и справа различны: 1

2 .

Независимо от того, определена ли

функция при

x 0 (да) и если да, то чему равна (равна 2), точка

x 0 – точка

неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке x

0 происходит конечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка x

0 – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо 0

0 и 0

0 обычно пишут

0 и

0 соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

f x

cos x,

x 0

и f

cos x,

x 0

2, x

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке x

0 ;

б) на графике 1-й функции точка

0;2

«закрашена», на графике 2-й – нет

(«выколотая точка»).

Точка

0;1 , где обрывается график cos x , не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Источник: https://studfile.net/preview/16711220/

Смотрите также:

laba_3_indikator3
Анализ результатов экспертизы мяса
Обучение говорению как виду речевой деятельности в контексте международного взаимодействия студентов
Понятие и виды пособий по временной нетрудоспособности (при заболевании, карантине, санаторнокурортном лечении, протезировании, по уходу за членом семьи)
Расчёт надежности блока стабилизаторов катушечного магнитофона
Стиль педагогической деятельности как фактор изменений в мотивационной сфере личности студентов
Характеристика рациона питания баскетболисток