Материал: 5720

2) все условные миноры нечётного порядка её матрицы отрицательны, а все угловые миноры чётного порядка положительны.

Напомним, что миноры матрицы − это возможные миноры первого и второго порядков, составленные из элементов этой матрицы.

Матрица первой квадратичной формы имеет вид

.

Её главные миноры таковы:

( − это обозначение определителя матрицы первого порядка (, а не обозначение абсолютной величины числа ). Так как все главы миноры положительны, то эта форма положительно определена.

У матрицы

второй квадратичной формы главные миноры таковы:

Таким образом, угловые миноры нечётного порядка (первого и третьего порядков) отрицательны, а угловой минор чётного (второго) порядка положителен. Тогда по второму утверждению Сильвестра эта форма отрицательно определена.

Ответ: Первая форма является положительно определённой, вторая − отрицательно определённой.

Пример 67. Найти все , при которых форма

будет положительно определённой. Решение. Матрица этой формы имеет вид

.

Для положительной определённости, согласно критерию Сильвестра, все условные миноры должны быть положительными, т.е. должны выполняться следующие неравенства для определителей первого, второго и третьего порядков:

56

решением которых являются все числа , удовлетворяющие неравенству .

Модуль 2. Аналитическая геометрия

Пример 1. Найти координаты вектора , если его началом и концом являются точки (−1,3) и (2,5) плоскости.

Решение. При любом расположении точек и на плоскости координаты X, Y вектора определяются равенствами

Решение. Воспользуемся решением предыдущего примера.

Так как найдутся из равенства

Тогда Ответ: Точка имеет вид .

так:

.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов соответствующие координаты складываются.

57

Ответ: .

Пример 5. Выяснить, образуют ли базис в двумерном пространстве векторы

Решение. Базисом в пространстве (на плоскости) называются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости (ни один из них не может быть нулевым). Так как заданные векторы не являются нулевыми и коллинеарными (у коллинеарных векторов координаты пропорциональны), то они образуют базис. Можно рассуждать иначе. Базисные векторы линейно независимы. Необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов является условие отличия от нуля определителя, составленного из координат этих векторов. В данном случае это условие выполняется:

Решение. Сразу отметим, что все векторы примера заданы в стандартном базисе пространства .

В предыдущем примере установлено, что и образуют базис в . Разложить вектор по этому базису означает, что его надо представить в виде

В силу действий над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений

Известными методами легко установить, что эта система имеет единственное решение Таким образом, разложение имеет вид При этом говорят, что в базисе вектор имеет своими координатами числа

58

Ответ: Разложение по базису имеет вид

коллинеарны.

Решение. Ненулевые векторы и из коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняются равенства

т.е. когда их координаты пропорциональны.

В данном случае условия коллинеарности имеют вид

.

Согласно этим равенствам, получим, что Ответ: Координаты середины отрезка

Пример 9. Точка является серединой отрезка . Найти координаты точки , если известна точка

Решение. Воспользуемся равенствами, приведёнными при решении примера 8. По условию данного примера Тогда имеют место равенства

,

из которых находим, что Ответ: есть координаты точки .

Пример 10. Найти скалярное произведение и , если длины и угол между ними таковы: .

Решение. Скалярные произведения ( векторов и определяется равенством

( .

59

Так как

Ответ:

.

Решение. Скалярное произведение двух векторов из трёхмерного пространства равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов:

Так как вектор в координатной форме имеет вид

, − 4) будут коллинеарны.

Решение. Условием перпендикулярности (ортогональности) двух векторов является равенство

,

где − координаты . Так как заданный вектор в координатной форме имеет вид

.

Ответ:

Пример 14. Найти расстояние (A, B) между точками A(1,2) и B(4,6) из .

60