Материал: 5720

Задание 5. Разложение определителя

по третьей строке имеет вид…

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

Решение. Правило Лапласа (разложение определителя по какой-нибудь строке или какому-нибудь столбцу) в данном задании будет иметь вид

,

т.к. разложение ведётся по третьей строке. Тогда в ответах надо искать случаи, где находятся элементы Это случаи 3) и 4), а случаи 1) и 2) не годны. Так как дополнения вычисляются по формуле , то алгебраическое дополнение элемента таково:

Это означает, что правильным ответом является ответ 3).

Задание 7. Для матрицы А существует обратная, если А имеет вид…

есть единичная матрица второго порядка.

11

Очевидно, что эти равенства выполняются только для матрицы 3). Например,

Опишем другой путь. Обратная матрица имеет вид

Тогда по указанному виду получаем, что

т.е. ответ 3).

Задание 9. Решение системы линейных уравнений

методом Крамера указано правильно в ответе …

Варианты ответов:

Решение. Если система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

Крамера

.

Из этих формул, очевидно, что решение даётся ответом 2).

12

при этом только у нулевой матрицы ранг равен нулю. Следовательно, ответы 2) и 4) отпадают. Ранг равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров, порождённых этой матрицей. В данном примере миноров третьего и высшего порядков нет, тогда отпадает и ответ 3). Остаётся ответ 1), т.е. Это действительно так: первый

нулю.

Задание 11. Система линейных уравнений

Варианты ответов: 1) не имеет решений; 2) имеет два решения; 3) имеет единственное решение; 4) имеет бесконечное множество решений.

Решение. Матрица системы и расширенная матрица этой системы таковы:

Очевидно, что ранги этих матриц совпадают и равным двум (, т.к. у них имеются миноры высшего (второго) порядка, отличные от нуля. Например, у обеих

Кронекера-Капелли) такая система совместна, т.е. имеет решения. Так как общий ранг , а число неизвестных , то выполняется условие . Тогда из критерия определённости следует, что система имеет бесконечное множество решений. Таким образом, справедлив ответ 4). К нему можно прийти иначе, с помощью знаний из аналитической геометрии. Каждое уравнение системы задаёт в трёхмерном пространстве некоторую плоскость. Координаты нормальных векторов, и этих плоскостей не пропорциональны. Следовательно, эти плоскости непараллельны и не совпадают. Тогда они пересекаются по некоторой прямой в пространстве. Координаты точек этой прямой и являются решением системы, множество решений бесконечно.

Задание 12. Система линейных уравнений

несовместна, если равно …

13

Вычисляем её минор высшего (третьего) порядка, не содержащий элемент :

.

Так как он отличен от нуля, то ранг этой матрицы равен трём. (. Для несовместимости системы по теореме Кронекера − Капелли ранг матрицы системы должен быть равен трём (. Это значит, что определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

Отсюда следует, что Правильным ответом является ответ 1).

Задание 13. Собственные значения и линейного преобразования

указаны правильно в ответе …

Варианты ответов: 1) 2) ; 3) , 4)

Решение. Матрица этого преобразования такова:

Характеристическое уравнение этой матрицы (данного линейного преобразования) имеет вид

Вычислив этот определитель второго порядка, получим уравнение второй степени относительно , а именно уравнение Его действительные корни и будут собственными значениями заданного линейного

преобразования. Правильным ответом является только ответ 3).

Задание 14. Квадратичная форма

будет положительной определённой при k …

Варианты ответов: 1) 2) ; 3) ; 4) .

14

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид . По критерию

Сильвестра данная квадратичная форма будет положительно определённой только при условии положительности всех её главных (угловых) миноров, которыми являются

ответом является ответ 3). Отметим следующее: ответы 1) и 2) сразу отпадают, т.к.

произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих

15