Документ: 5720, страницы 21-25

=4, =5 (выписаны диагональные элементы), а остальные элементы равны нулю. Следовательно, она и является диагональной.

Ответ: Такой матрицей является квадратная матрица четвёртого порядка под номером 4).

Пример 4. Требуется выписать единичную матрицу третьего порядка.

Решение. Единичной матрицей называют диагональную матрицу n-го порядка, у которой все элементы главной диагонали равны единице (=1, …, =1).

Обозначают её E или . Таким образом, требуемая матрица имеет вид

.

Ответ: = .

	Пример 5. Из квадратных матриц 1)		, 2)	,
	Пример 5. Из квадратных матриц 1)		, 2)	,
3)	, 4)	выявить треугольную.
3)	, 4)	выявить треугольную.

Решение: Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные по одну (любую) сторону от главной диагонали, равны нулю. Из выписанных такой матрицей является матрица под номером 4).

Ответ: 4).

Пример 6. Указать элемент матрицы , являющейся транспонированной по

отношению к матрице =		.

Решение. Транспонированная матрица получается из произвольной матрицы путём размещения строк последней в соответствующие по номеру столбцы. Операция перехода от к называется транспонированием матрицы Итак, транспонируя

получим

=

. Это и есть транспонированная матрица по отношению к

заданной . Элемент матрицы расположен в её четвёртой строке и втором столбце. Очевидно, что = 7. Отметим, что матрица имеет размерность , а её транспонированная имеет размерность .

Ответ: = 7.

21

Пример 7. Найти элемент	матрицы =	, если она	симметрична.

Решение. Квадратная	матрица называется	симметричной,	если	=

У симметричной матрицы элементы, расположенные симметрично относительно

главной диагонали, равны между собой (

=

). Тогда

=

. Так как

=5, то и

= 5.

Ответ:

= 5.

Пример 8.

Найти элемент

матрицы A+

B, если

= 3, А =

,

В =

.

Решение. Матрица С = В называется произведением матрицы В (

)

любой

размерности

на произвольное действительное число

,

если её элементы

определяются равенством

Тогда матрица

имеет вид

=

.

Сумма двух матриц А =

и С =

одинаковой размерности называется

матрица D = A + C такой же размерности

, элементы

которой определяются

равенством

. Следовательно, элементы матрицы А +

С равны суммам

соответствующих элементов матриц А, С. Так как

=

3 и

=

3 (C =

), то

= 3

3 =0.

Ответ:

= 0

Пример 9. Матрица А имеет размерность 4

3. Матрица В может иметь любую из

следующих размерностей: 1) 2

4, 2) 4

2,

3)3

2,

4)

4

3.

Выяснить,

когда

возможно умножение матрицы А на матрицу В.

Решение. Умножение матрицы А на В возможно (тогда существует произведение А, важен порядок умножения), если число n столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так как размерность матрицы А есть , то у неё три столбца (n = 3). Следовательно, среди матриц В надо искать ту, у которой число строк равно трём. Это есть третья матрица из 4 заданных.

Ответ: 3), т.е. .

Пример 10. Выяснить размерность матрицы АВ, если , .

Решение. По условию матрица А имеет размерность , т.е. у неё четыре строки и три столбца. (m = 4, n = 3); у матрицы В размерность (у неё три строки и два

22

столбца). Произведение АВ этих матриц возможно, т.к. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (об этих матрицах говорилось в примере 9). Размерность

матрицы АВ при заданных размерностях А и В определяется формулой

, т.е. АВ имеет размерность

.

В

данном

примере

а

следовательно,

Ответ: Матрица АВ имеет размерность

.

Пример

11. Найти

элемент

матрицы

С

=

АВ,

если А =

,

В =

.

Решение. Элементы

матрицы С = (

, являющейся произведением матрицы

А =

на матрицу В =

, находятся по формуле

Формула означает, что элемент

есть сумма попарных произведений

элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В. Т.к. находим элемент

,

то

Таким образом,

Ответ:

= 7.

Пример12. Выяснить возможность умножения матриц в следующих случаях:

1)

∙

; 2)

∙

;

4)

5)

6)

∙

.

Решение. Как отмечено при решении примера 9, умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, на которую первую умножают. Очевидно, что к таким ситуациям относят случаи: 2), 4), 5).

Ответ: Умножение возможно в случаях 2), 4), 5).

Пример 13.

Найти произведение АВ матриц А =

, В =

.

Решение. Размерность матрицы А есть

, а В −

. Т.к.

число столбцов

матрицы А равно числу строк матрицы В, то умножение возможно.

Выполним

действие: АВ =

∙

=

.

При умножении применялось правило указанное при решении примера 11. Получим

матрицу	размерности	. Отметим, что произведение ВА невозможно.

Ответ: АВ =

23

Пример 14. Найти произведения АВ и ВА матриц А =

, В =

.

Решение. Произведение АВ существует, т.к. А имеет размерность , а В . Применяем правило, которое было указанно в примере 11.

.

Получилась матрица размерности , т.к. , а , то произведение ВА также

возможно. Проведём действие: ВА =		.

ВА имеет размерность , т.е. есть квадратная матрица первого порядка.

Ответ: АВ =						, ВА = (9).

Пример 15. Найти матрицы и , если А= и единичная

матрица третьего порядка.

Решение. Непосредственно по определению умножения матриц легко установить, что = А и = А.

Ответ: =А.

Пример 16. Пусть существует произведение АВ блочных матриц.

А =

, В =

. Размерность блоков [

а блоков

Требуется найти число строк в блоках

,

, если

даны

следующие варианты ответов:

1)

1-я строка,

2-я строка; 2)

– 3-я строка,

1 строка; 3)

2-я

строка,

2-я строка;4)

3-я строка,

2-я строка.

Решение. По условию задачи матрица А имеет вид А =

.

В этой записи, элементы отмечены точками, блоки разделены (размерности блоков указаны в задаче). Очевидно, что матрица А имеет 5 столбцов. Т.к. АВ существует, то у матрицы В должно быть 5 строк. Т.к. блоки , расположены один под другим, то из предложенных вариантов этому условию (5 строк у матрицы В) удовлетворяет только вариант 4. Конечно, число строк в блоках может быть другим, но общее их число 5 (количество столбцов во всех блоках) не играет роли).

Ответ: Из предложенных вариантов подходит вариант 4).

24

Пример 17. Выяснить, в какую точку преобразуется точка М (5,1) двумерного арифметического пространства с помощью линейного преобразования У=АХ с

матрицей А =

.

Решение. В подробной записи линейное преобразование имеет вид:

Подставив координаты , точки М в эти равенства, получим , . Таким образом точка м(5,1) перейдёт в точку (13,10) в декартовой системе координат 0.

Ответ: (13,10).

Пример 18. Вычислить определитель матрицы. А = .

Решение. Заданная матрица есть квадратная матрица второго порядка.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы. А =		второго порядка
проще всего вычислить по формуле	=		, т.е.

от произведения диагональных элементов надо вычесть произведение элементов второй (лобочной) диагонали матрицы. В формуле слева даны различные обозначения определителей. В рассматриваемом примере , , , . Тогда