Материал: 5720

являются координатами нормального вектора , то варианты ответов 3) и 4) негодны. Ответ может быть либо 1), либо 2). Для выбора окончательного ответа надо

Решение. Условием перпендикулярности прямых является равенство или , где угловые коэффициенты этих прямых. По условию задачи

, . Тогда т.е. случай 1).

4)

Решение. Очевидно, что заданная прямая имеет угловой коэффициент Любая параллельная ей прямая имеет тот же угловой коэффициент. Тогда воспользуемся уравнением

и тем, что точка задана. Получим или Следовательно, такой прямой является прямая 1). Можно рассуждать иначе. Так как ответы даны, то среди этих прямых надо искать уравнения с угловым коэффициентом . Или являются прямые 1) и 2). Теперь надо учесть, что искомая прямая проходит через точку Подставляя координаты этой точки в уравнения 1) и 2), убедимся, что такой прямой является прямая 1), т.е. , .

16

Задание 21. Через начало координат проходят прямые …

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение. Очевидно, что такими прямыми являются 2) и 4). Это проверяется путём подстановки координат точки в эти уравнения.

Задание 22. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты …

Варианты ответов: 1) (1; ; 5); 2) (1; 1; 4); 3) ( 4) (1, 2, 3).

Решение. Так как в ответах даны координаты предполагаемой точки, то проще всего установить нужную проверкой, т.е. подставлением координат этих точек в оба уравнения. Очевидно, что такой точкой является только точка 3). Если бы ответ был неизвестен, то следует действовать так. Получим параметрические уравнения заданной пространственной прямой:

Для нахождения координат точки пересечения надо решать систему уравнений

В данном примере , т.е. r=4. Поэтому возможны ответы 1) и 2). Очевидно, что правильным ответом является 2).

Задание 24. Алгебраическое уравнение второй степени задаёт на плоскости …

Варианты ответов: 1) параболу; 2) гиперболу; 3) эллипс; 4) окружность.

17

Решение. В уравнении присутствуют члены с и , такое уравнение не может задавать параболу. Коэффициент A при равен единице (A=1), а коэффициент B при равен четырём (B = 4). Так как AB, то это не окружность. Так как коэффициенты A и B одного знака, то эта кривая не является гиперболой. Следовательно, кривой является эллипс (правильным ответом является ответ 3)). Этот ответ можно получить следующим образом. Сгруппируем члены с соответствующими переменными и выделим полные квадраты:

Разделив последнее равенство на 16, получим уравнение

Это уравнение определяет на плоскости эллипс с центром в точке С (3, 1) и полуосями

Задание 25. Каноническое уравнение параболы есть уравнение …

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение. Таким уравнением является уравнение 4). Первое задаёт эллипс, второе − окружность, третье − гиперболу.

18

характеристических корней называется спектром линейного преобразования (спектром

чисел и есть спектр данного линейного преобразования, т.е. множество 3).

19

Модуль 1. Матричная алгебра

Пример 1. Указать элемент матрицы

.

Выяснить размерность этой матрицы.

Решение. Элементы матрицы обычно обозначаются . При этом индекс i означает номер строки, в которой находится этот элемент, а j − номер столбца. По условию

найти квадратную матрицу. Указать её порядок.

Решение. Квадратной называют матрицу, у которой m = n, т.е. число строк равно числу столбцов. Иногда такую матрицу записывают в виде . Такой будет третья из выписанных матриц. Так как m = 3 и n = 3, то её размерность есть . Тогда говорят, что эта матрица есть матрица третьего порядка.

Ответ: Такой матрицей является матрица третьего порядка за номером 3).

Пример 3. Среди квадратных матриц выявить диагональную

Решение. Диагональной называют любую квадратную матрицу n-го порядка, все элементы которой вне главной диагонали (недиагональные элементы) , , …, равны нулю. При этом не обязательно, что все элементы главной диагонали отличны от нуля (среди них могут быть и равные нулю). У матрицы за номером 4) = 2, =0,

20