Материал: PAKhT_LEKTsII_1sem
давлений, всегда наблюдается неустановившееся движение жидкости, поэтому при расчетах нельзя использовать обычное уравнение Бернулли.
Рис.3.5. К выводу уравнения для определения времени истечения с переменным уровнем жидкости в сосуде
Для решения задачи полное время истечения жидкости разбиваем на бесконечно малые промежутки времени dt, в течение каждого из которых напор считаем постоянным,
а движение жидкости установившемся.
Рассмотрим истечение жидкости в атмосферу через отверстие в дне сосуда из открытого вертикального цилиндрического сосуда с сечением S.
Элементарный объем жидкости dV, прошедшей через отверстие за бесконечно малый промежуток времени dt, рассчитывается по формуле
|
|
|
|
dV S0 2gHdt |
(3.18) |
||
Величину Н в течение времени dt примем постоянной. |
|
||
В действительности за это время уровень жидкости в сосуде опустится на величину
dH и объем жидкости в нем изменится на dV:
dV SdH |
(3.19) |
Знак «минус» показывает, |
что с течением времени величина Н уменьшается и, |
следовательно, dH будет отрицательной.
Приравняем выражения (3.18) и (3.19). Полное время опорожнения сосуда
определим в результате интегрирования уравнения:
t |
|
0 |
|
S |
|
|
|||||
dt ( S0 |
2gH |
) 1 |
|
|
dH |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
H |
|||||||||
0 |
|
|
H |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При S=const |
t |
|
2S |
H |
|
|
|||||
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2g |
(3.20) |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
Для определения времени истечения только части объема от H до H1:
9
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
2S( H |
H 1 ) |
||||||
S0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2g |
(3.21) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Если сечение |
|
аппарата изменяется (конический резервуар, горизонтальная |
||||||
цистерна), т.е. S величина переменная, необходимо использовать зависимость S=f(H).
Такие задачи решают при наполнении и опорожнении резервуаров, цистерн,
водохранилищ.
10
ЛЕКЦИЯ 4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО РАДИУСУ ТРУБЫ
УРАВНЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ
Гидравлический радиус и эквивалентный диаметр
При движении жидкостей по каналам произвольной формы, сечение которых
отлично от круга, в качестве |
определяющего |
линейного размера принимается |
приведенная величина, которую называют гидравлическим радиусом канала. |
||
Гидравлическим радиусом |
канала произвольного сечения называют отношение |
|
площади поперечного сечения потока S к смоченному периметру П. |
||
rг= S/П |
|
(4.1) |
Для круглой трубы при сплошном ее заполнении жидкостью:
rг d2 d
4 d 4
Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называют эквивалентным
диаметром:
d |
4r |
|
4S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
э |
|
г |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Эквивалентный диаметр канала круглого сечения: dэ |
|
d |
|||||||||||||||||
|
d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентный диаметр канала кольцевого поперечного сечения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
D |
2 |
|
|
dнар |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4( |
|
|
вн |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dэ |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
Dвн dнар |
|
|
|
||||||
|
Dвн |
dнар |
|
|
|
|
|
(4.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентный диаметр канала прямоугольного сечения (a,b – стороны |
|||||||||||||||||||
прямоугольника) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d 4r |
4S |
|
|
|
4аb |
|
|
|
) |
2ab |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
э |
|
Г |
|
|
П |
|
2(а b ) |
а b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Ламинарное и турбулентное течение. Критерий Рейнольдса.
Английским физиком Осборном Рейнольдсом в 1876–1883 гг. были проведены экспериментальные исследования движения жидкостей при различных скоростях потока,
размерах канала и свойствах среды. Для этого им была собрана установка, состоящая из емкости с постоянным уровнем воды, горизонтальной стеклянной трубы и емкости с красящим веществом, которое вводилось в стеклянную трубу по ее оси через тонкую капиллярную трубку (Рис.4.1).
Рис.4.1. Экспериментальная установка для исследования режимов течения жидкости
При небольших расходах (небольших скоростях) воды в стеклянной трубе струйки красящего вещества вытягивались в тонкую нить, т.е. частицы красителя перемещались по параллельным траекториям, не перемешиваясь. Такое движение было названо ламинарным (вязким, струйным, слоистым).
С возрастанием расхода жидкости (скорости) окрашенная струйка приобретала поначалу волнообразное движение, а затем, при дальнейшем увеличении расхода,
начинала размываться и полностью окрашивать всю массу жидкости в трубе. Это вызвано возмущением, перемешиванием частиц и вихреобразованием. Движение жидкости, когда основная масса перемещается в одном направлении, а отдельные частицы, или группы частиц, движутся по хаотическим неупорядоченным траектория, называют турбулентным.
Критерием перехода течения из одного режима в другой стал безразмерный комплекс величин, называемый числом (критерием) Рейнольдса Re:
Re vl
где v – скорость жидкости (м/с), l – определяющий линейный размер (м), (кг/м3) и μ -динамическая вязкость (Па.с) жидкости.
(4.5)
ρ - плотность
2
Принято считать, что в прямых круглых трубах критическое число Re равно 2 300.
При значениях Re 2 300 режим движения жидкостей и газов ламинарный, течение при
2 300 Re 10 000 называется неустойчивым турбулентным, при Re > 10 000 – развитым турбулентным.
Однако экспериментально было найдено, что критическое значение числа Re в
круглых трубах может находиться в диапазоне 2 300 20 000. Такие высокие значения критического числа Re обусловлены особыми условиями проведения опытов: постоянной температурой, стабилизацией расхода, отсутствием возмущений потока, малыми значениями шероховатости стенок и т.д. Для идеально равномерного профиля скорости на идеально гладкой поверхности критическое число Re стремится к бесконечности. На практике принято считать турбулентным поток при Re > 2300, однако при наличии дополнительных турбулизаторов, ламинарное течение заканчивается при гораздо более низких значениях чисел Рейнольдса.
Турбулентное течение
Развитое турбулентное течение характеризуется сложным перемешиванием жидкости, вихреобразованием и случайными флуктуациями параметров. Так, например,
истинная скорость в некоторой точке потока испытывает нерегулярные хаотические пульсации во времени.
Если взять одну фиксированную точку потока, то мгновенная скорость u
пульсирует около некоторого среднего во времени значения u (Рис. 4.2).
Рис.4.2. Мгновенная v и осредненная во времени v локальные скорости при турбулентном течении потока
3