струмента, о стоимости различных товаров или художествен
ных произведений и т. д., и т. п.
Значительная часть математических понятий и теорий связа
на с абстрактным рафинированием точных определений, фор
мулированием различного рода постулатов и установлением
свойств и закономерностей, существующих между универсаль
ными понятиями, вытекающих из их определения или соответ
ствующих фундаментальных аксиом.
Развитие научных теорий осуществляется с помощью введе
ния и использования различных моделей, которые в закончен
ных и ясных случаях точно определены и которые по своему
существу можно рассматривать как некоторые абстрактные ма
тематические схемы, отражающие в достаточном и нужном виде
интересующую нас суть дела.
В естественных науках построение теоретических моделей свя
занос достижением двух основных целей:
1. Для осмысления и объяснения результатов наблюдений
и различных измерений в опытах, экспериментах и в окружа ющей нас среде.
2. Для математической формулировки соответствующих задач, позволяющих получать в рассматриваемых проблемах требуемые
ответы теоретически путем исследования или разрешения этих
задач с помощью математических методов.
Примерами таких моделей могут служить Евклидава простран ство, абсолютное время, понятие о материальной точке, абсо
лютно твердое тело, идеальная несжимаемая и сжимаемая жид
кость, модель упругого тела с законом Гука для малых деформа ций, вязкая жидкость Нарье-Стокса, представление об элект
ронах и протонах как о материальных точках с соответствующи
ми отрицательными и положительными зарЯдами и т. д.
Каждая из названных выше идеально вводимых моделей пред
ставляет собой точно определенный объект, введенный на ос
нове схематизирования применительно к реальному простран
ству - времени и реальным материальным телам, участвующим
в действительных событиях.
Во многих вопросах практики эти и другие модели с большим успехом использовались, используются и теперь и будут исполь
зоваться в будущем для теоретического и экспериментального опи
сания интересующих нас событий в природе и технике.
Однако самого поверхностного взгляда достаточно, чтобы по
нять, что область применения этих и многих других моделей ог
раничена. Применеине хороших моделей может удовлетворять нас
в довольно широких диапазонах проблем. Правильно построен-
11
ные и вышеупомянутые модели могут оказаться непригодными
для описания многих других явлений, в которых потребуются учет и взаимодействие электромагнитных полей, различного рода излучений.
Понятия Евклидава пространства и абсолютного времени -
это замечательные математические модели, на которых зиж
дится вся классическая физика и многие важнейшие отрасли
современной техники, но теперь уже ясно, что эти геометри
чески описываемые модели можно усложнять при изучении
физических явлений, связанных с электромагнетизмом, и в
теории гравитации.
Понятие о материальной точке - основное в небесной меха
нике. Землю, планеты, Солнце и звезды во многих важнейших
задачах небесной механики можно считать материальными точ
ками. Множество задач небесной механики и соответствующих математических задач - это просто формулируемые задачи ди
намики о движении систем материальных точек под действием
сил взаимного притяжения, согласно ньютонавекому закону
всемирного тяготения в различных условиях.
Физический объект Земля схематизируется в небесной ме
ханике с хорошим приближением как материальная точка с сохранением только суммарной массы и своего количества
движения.
Однако Земля имеет конечные размеры, покрыта волнующи
миен и подвижными морями, океанами, с сушей, с горами,
окружена космической средой и подвижной атмосферой, ее на
селяют различные живые существа, мыслящие люди, которые в
свою очередь строят и запускают в пространство космические
аппараты, представляющие собой новые небесные тела. В обо
зримом будущем люди могут повлиять на орбиты малых планет
иизучать возможности столкновений, а это и многое другое
связано с устранением небесных катастроф.
Очевидно, что в ряде уже современных актуальных вопро сов некоторые из перечисленных свойств Земли, других пла нет и космической межпланетной Среды уже нельзя игнори
ровать, и поэтому в известных задачах моделирование Земли
иразличных небесных тел без взаимных притяжений, как ма
териальных точек, движущихся в пустых пространствах, со
вершенно недопустимо.
По мере углубления знаний в небесной механике все новые
свойства Земли и окружающих ее тел приобретают значение, и
поэтому требуется все более и более подробное моделирование, однако на каждом этапе это моделирование будет обладать схе-
12
матичностью и в будущем будет нуждаться в уточнении для уче
та следующих более тонких свойств взаимодействий.
Это положение будет типично при моделировании реаль
ных событий, в частности электрон и протон уже теперь во многих задачах физики нельзя моделировать заряженными ма териальными точками, требуется вводить новые модели, раз рабатываемые в квантовой механике, например, в одних воп
росах - это пакеты волн, в других - это поле, занимающее
все пространство.
В математических исследованиях, обычно, механические мо дели фиксируются строго и точно, после этого в рамках введен
ных моделей теоретически изучаются различные весьма тонкие механические эффекты, которые зачастую могут проявляться
только в течение очень больших промежутков времени (иногда,
однако, больших, чем оцененное в астрофизике время суще
ствования Вселенной). Такое положение дела со спортивно-по
знавательной - чисто математической точки зрения и создания
новых математических методов исследования вполне разумно,
однако с точки зрения изучения действительных явлений в при
роде в таких случаях могут возникать пожелания об уточнении основного подхода в формулировке практических задач с при менением более точного моделирования.
Аналогичные ситуации возникают в науке в любых отраслях
и, конечно, в механике сruюшных сред.
Само введение механического объекта - сплошной среды -
представляет собой схематизацию реальных тел, состоящих из ато
мов и молекул, в которых сконцентрированы очень плотные мас
сы, и которые, с одной стороны, распределены повсеместно в
объеме, занятом телом, а с друтой сторонызанимают ничтож но малую часть полного объема тела, который в основном пред
ставляет собой пустоту, в которой, кроме вкрапленных матери
альных частиц, присутствуют местные электромагнитные поля,
индуцируемые находящимиен в тепловом движении отдельными
частицами - атомами и молекулами. Во многих примерах модель ные точки зрения по Маху и по Больцману равноценны.
Опыт и специальные исследования показывают, что моде
лирование реальных тел сплошными средами вполне допусти
мо во многих важных приложениях, в частности в подавляю
щем числе технических задач. Однако имеются и такие приме
ры, когда моделирование изучаемых объектов, как сплошных
сред, недопустимо.
Часто приходится слышать, что использование уравнения
Больцмана для описания движений разреженных газов или плаз-
13
мы - это метод, в котором в противоположность многим фено
менологическим-макроскопическим подходам учитывается и
фактически рассматривается дискретная структура этих сред,
однако это неверно! Несмотря на употребление при рассужде
ниях и выводах эвристических подсчетов с использованием атом
но-молекулярной терминологии окончательные виды уравне
ния Больцмана применительно к различным средам содержат
непрерывные функции и определяют собой примеры построе
ния усложненных моделей сплошных сред - континуумов, за
полняющих непрерывно некоторые конечные объемы или все
пространство.
Теоретическое моделирование связано в основном с двумя
этапами абстракций:
во-первых, это построение идеальных объектов вещества или
полей. Например, материальная точка, как математическая иде
альная точка, идеальная жидкость или газ, вязкая жидкость или
газ, упругое тело по Гуку, пластическое тело, электромагнитное
поле и т. п., как математические континуумы;
во-вторых, это упрощенное моделирование конкретных за
дач в рамках уже выбранных моделей для рассматриваемых объек
тов. Например, система небесных тел заменяется материальны
ми точками или однородными шарами, а в аэродинамике при
нимается, что газовый поток занимает все пространство вне дан ного изолированного тела, что обтекаемое крыло абсолютно глад
кое; при изучении деформированного состояния упругих тел
принимается, что деформация плоская, во многих случаях счи
тается, что движения сплошных сред или процессы в рассмат
риваемых полях можно считать одномерными с плоскими, сфе
рическими или цилиндрическими волнами и т. д.
Очевидно, что дальнейшие уточнения могут требоваться и
вводиться на каждом из указанных двух этапов, отдельно или
одновременно.
Во второй половине XIX и начале ХХ столетия научное раз
витие происходило в разделенных и сравнительно обособленных
дисциплинах, таких как математика, механика, термодинами
ка, химия, электродинамика, биология и т. п.
Дальнейшее развитие и особенно современный научный про rресс характеризуются, наряду с углублением отдельных специ
альных разделов науки, почти полным стиранием разделяющих rраней в основных законах, подходах и методах между перечис
ленными выше науками.
Современные актуальные проблемы научного познания при роды и задачи техники носят комплексный характер. Различные
14
взаимодействия: механические, физические, химические и др. проявляются одновременно неразделимым способом. В типич
ных примерах мы сталкиваемся с теоретическими, математи
ческими и экспериментальными исслt:дованиями явлений и про
цессов, в которых механические, тепловые, химиче!i:кие и элек
тродинамические взаимодействия и эффекты настолько тесно
переплетаются между собой, что невозможно проводить их опи сание в рамках отдельных уже сложившихся отделов наук. В на
стоящее время требуется строить новые макроскопические и микроскопические физические модели материальных сред и по
лей, в которых, наряду с механическими характеристиками свойств и явлений, необходимо вводить в рассмотрение и дру
гие переменные и постоянные существенные характеристичес
кие величины скалярной и тензорной природы, такие как тем пература, внутренняя энергия механической, тепловой и хими ческой сущности, энтропия, концентрации разных компонент в
смесях или сплавах, характеристики электромагнитного напря жения и электризации, магнитного напряжения и намагничен
ности, электрические токи, различные постоянные типа моду
лей упругости, коэффициентов вязкости и теплопроводности, диэлектрических постоянных и магнитных проницаемостей, элек
трического сопротивления и т. д.
Такого рода характеристические величины входят существен ным образом совместно в одни и те же определяющие уравнения и условия, и поэтому разделение их эффектов, вообще говоря, невозможно. Таким образом, в современной механике, наряду с
координатами, скоростями, ускорениями и силами, в качестве
существенных внутренних параметров фигурируют такие величи
ны, как температура, энергия и энтропия, и поэтому нужно к
уравнениям механики присоединять уравнения, выражающие со
бой первый и второй законы термодинамики, или надо присоеди
нять электромагнитные характеристики и уравнения Максвема
или концентрации химических реагентов и соответственно урав
нения химических балансов и кинетики химических реакций, воз
никающих и протекающих в движущихся смесях.
В рамках общей теории относительности в качестве «внут
ренних» параметров, подлежащих определению, в уравнени
ях движения присутствуют компоненты метрического тензо
ра, определяющие собой в соответствии с разработанными в
математике методами геометрические свойства четырехмер
ного пространства - времени.
Наряду с проблемами разрешения многих важных и инте
ресных задач в рамках известных классических моделей для изот-
15