Материал: Sedov_L.I._O_nauchnyh_metodah_v_mehanike_sploshnyh_sred

в этом уравнении задаются плотность функций ow·, пред­

ставляемых интегралом по произвольному четырехмерному объ­

ему пространства и времени V,. и трехмерным поверхностным интегралом от линейного выражения по вариациям и их произ­

водным по координатам и по времени по поверхности l: + S±, где l: - поверхность, ограничивающая объем v.;, а S± - двух­ сторонние трехмерные поверхности1 , на которых искомые фун­

кции могут терпеть сильные разрывы.

Функционал о W определяется через Л и о W · и представляет

собой поверхностный интеграл по поверхности l:.

Аргументы скаляра Л и у коэффициентов при вариациях в oW' выражаются через искомые функции и через их производ­

ные по координатам и времени различных порядков.

В ньютонавекой механике во многих случаях (но не всегда)

можно положить:

точек среды относительно инерциальных тетрад для системы отсче­

та; О - внутренняя энергия частицы, рассчитанная на единицу

массытермодинамическая скалярная характеристика среды, за­

висящая от механических и термодинамических параметров, харак­

теризующих состояние бесконечно малых частиц среды.

В сопутствующей системе координат при V = О верно ра­

венство:

Л==pU==pU.

При наличии электромагнитного поля, включаемого в рас­

сматриваемую систему, справа в уравнении (2) необходимо до­

бавить еще известные члены.

Физико-термодинамическое толкование оW • в некоторых слу­

чаях сводится к следующему.

Подинтегральное выражение для о W' представляет собой пол­

ный подвод к бесконечно малой частице за счет варьирования

определяющих параметров внешней (ко всему телу) энергии. Сюда

1 Характерной особенностью современных модельных теорий сплошных сред

является допущение о необходимости введения решений с наличием поверхно­

стей S разрыва, которые должны определяться при разрешении модельно по­

ставленных задач.

21

входят работа вн~шних сил, приток внешнего тепла dQ• и до­ полнительный приток энергии dQ' не тепловой природы.

Благодаря произвольности объема ~ и :Е определение коэф­ фициентов в линейной формуле по вариациям и по их произ­ водным от искомых функций в подинтегральном выражении поверхностного интеграла бW представляет собой не что иное,

как определение уравнений состояния в обсуждаемой модели.

При таком определении уравнения состояния, когда среди оп­

ределяющих параметров присутствует энтропия S или темпера­ тура Т, можно использовать уравнение второго закона термоди­ намики в форме

v.

для исключения из Б W' величины притока тепла dQ•.

В уравнении (3) dQ' > О - некомпенсированное тепло. Зада­ ние величины dQ' обусловливается установлением для вводи­

мой модели среды законов диссипации энергии.

Таким образом, при введении величин л и БW', фиксирую­

щих модель, можно руководствоваться различными физически­ ми и математическими соображениями, связанными с термоди­ намическими свойствами тел через плотность внутренней энер­

гии Ии через законы диссипации, определяющие dQ'. Величина dQ' также должна вводиться исходя из допускаемых физических механизмов обмена энергией данной малой частицы с соседни­

ми частицами и с внешними телами и полями.

Исходя из физических соображений уравнение ( 1) в исходной

форме (с dQ•) можно постулировать не только для непрерывных

по пространству и времени явлений, но и для процессов с силь­

ными разрывами внутри объема рассматриваемой среды на неко­

торых поверхностях S+. При наличии сильных разрывов можно ВВОДИТЬ В ВеЛИЧИНУ ~W', ИСХОДЯ ИЗ фИЗИЧеСКИХ соображеНИЙ О

концентрированных поверхностных притоках энергии на разры­

вах вдоль S±, дополнительный интеграл по S±, характеризующий

такие притоки энергии.

Уравнение ( 1) представляет собой естественное обобщение и

развитие вариационного принцила Лагранжа в аналитической

механике для консервативных моделей.

Дальнейшее обобщение и развитие этого принцила основа­ ны на следующих существенных обстоятельствах:

1. На распространении вариационного уравнения (1) на сплош­ ные среды с любыми механическими и физико-химическими

22

процессами, связанными с проявлением внугренних степеней

свободы, характеризуемых макроскопически параметрами, во­ обще говоря, не механической природы.

2. Применеине уравнения (1) для описания необратимых явле­ ний. В системе уравнений Эйлера содержатся не только общие урав­

нения химических реакций и фазовых переходов, а также в случае

учета электродинамических явлений и уравнения MaкcвeJVIa.

3. Уравнение (1) рассматривается для произвольных объемов ~для произвольных непрерывных вариаций искомых функций,

в том числе и вариаций, не обращающихся в нуль на границе 1:.

Это позволяет установить термодинамические уравнения состо­

яния, определяющие характеристики механического, химичес­

кого, электродинамического взаимодействия в телах и в поле, а для метрических свойств пространства найти геометрические

характеристики.

4. После задания функции Лагранжа л и функцианала Б w·,

выраженного через внешние притоки энергии к частицам, на

основании интегральной формы уравнения ( 1) появляется воз­

можность устанавливать условия на поверхностях сильных раз­

рывов-скачков характеристических определяющих параметров

внутри среды. Эти условия можно использовать, в частности, для формулировки начальных и краевых условий.

5. Интегральное уравнение (1), минуя дифференциальные

уравнения с дополнительными начальными и краевыми услови­

ями на скачках, можно положить в основу различных)!Рибли­

женных и численных методов решения конкретных задач.

6. Уравнение (1) можно использовать для построения специ­

альных моделей тонких тел: пластинок, оболочек, стержней, движения жидкостей в пленках или в мелких каналах - в тонких

слоях жидкости, при расчетах композитных конструкций и т.п.

В такого рода случаях можно выделить некоторые направления,

например направление толщины пластины или направления

поперечного сечения стержня. В этих направлениях, например

по тонкой толщине пластинки, распределения изучаемых ха­

рактеристик состояния можно задавать в упрощенной форме кон­

кретными функциями вдоль первоначальной нормали к плас­

тинке, содержащими <<внутренние параметры>), которые могуг

зависеть от координат вдоль пластинки и которые должны варь­

ироваться и определяться с помощью вариационного уравнения

(1) в процессе решения задачи.

Применеине аналогичного метода в различных вариантах к

трехмерному случаю может представпять собой прямое или кос­ венное обобщение метода Бубнова.

23

После подобной замены искомых функций можно осуще­

ствить некоторые интегрирования в уравнении (1), после чего вариационное уравнение (1) приводит задачу к рассмотрению усложненной модели с внутренними степенями свободы, но с

меньшим числом измерений. Например, для пластинок и обо­

лочек - к двумерной модели, для стержней - к одномерной

модели и т. д.

При таких методах подхода характерно следующее обстоятель­ ство. Например, исходя из классической модели упругого тела

по Гуку в трехмерной постановке, в двумерной модели для пла­

стинок или оболочек получается усложнение модели, для кото­

рой внутренние взаимодействия определяются не только сила­

ми напряжения, рассчитанными на единицу длины «сечения», но и моментальными напряжениями, которые могут зависеть не

только от первых производных от смещений по координатам соответствующей двумерной поверхности, но и от производных

следующего порядка.

В связи с базисным уравнением ( 1) полезно иметь в виду

следующие замечания.

Фиксирование системы уравнений Эйлера, содержащих урав­

нение количеств движения, уравнение моментов количеств дви­

жения, уравнение энергии, уравнение для продукции энтропии,

кинематические уравнения и т. п., которые могут не быть незави­

симыми, не определяет собой плотность функциИ Лагранжа л.

Очевидно, что добавление к функции Лагранжа отличных от нуля

<•дивергентных членов>> не меняет системы уравнений Эйлера. Однако добавление «дивергентных членов» к функции Лагранжа

меняет выражение для о W и, следовательно, влияет на вид урав­

нений состояния. Таким образом, задание замкнутой системы

уравнений Эйлера, т. е. всех уравнений, выполняющихся для раз­

личных процессов, недостаточно для фиксирования уравнений

состояния. В связи с этим отметим еще, что в механике сплошных

сред для модельных явлений, происходящих в фиксированных

пространствах, должны выполняться дифференциальные уравне­ ния в частных производных типа Сен-Венана.

В некоторых учебниках и научных работах можно встре­

титься с утверждением, что условия на сильных разрывах

можно получить, если известна замкнутая система диффе­

ренциальных уравнений, описывающая некоторые явления в рамках данной модели.

В действительности это утверждение неверно! Дело в том, что,

во-первых, разрывные движения, вообще говоря, нельзя рас­ сматривать как предел непрерывных движений в рамках той же

24

самой модели, и, во-вторых, при выводе условий на сильных

разрывах необходимо обязательно использовать некоторые ин­

тегральные соотношения, которые для данной системы диффе­

ренциальных уравнений не определяются однозначно.

Для непрерывных движений данной системы дифференци­

альных уравнений можно поставить в соответствие много раз­ личных систем интегральных соотношений, полностью эквива­ лентных данной системе дифференциальных уравнений.

Для разрывных движений разные системы интегральных со­

отношений дают различные условия, находящиеся между собой

в противоречии.

Отсюда понятно, что для установления условий на сильных

разрывах необходимо как опытный закон постулировать соот­ ветствующую систему интегральных соотношений, верных как

для непрерывных процессов, так и для процессов с сильными

разрывами.

Опыт показывает, что в качестве интегрального соотноше­

ния, применимаго не только для непрерывных, но и для раз­

рывных движений, нужно брать в интегральной форме закон сохранения энергии. Заметим, что, например, уравнение прито­ ка тепла в интегральной форме или уравнение сохранения энт­ ропии для адиабатических процессов в интегральной форме при­

водит к неверным условиям на сильном разрыве.

В связи с этими соображениями ясно, что вариационное урав­

нение (1) в интегральной форме можно применять для разрыв­ ных процессов и для вывода условий на скачках при соответ­

ственно физически правильно (в согласии с опытом) опреде­ ленных выражениях для плотности функции Лаrранжа Л и для выражения функцианала о w·. В частности, при выводе условий на скачках в выражении для о W' необходимо сохранить все

члены, характеризующие притоки энергии, и ввести новые -

определяющие присутствующие концентрированные притоки на

поверхностях разрывов в форме, которая входит в уравнение

энергии. Функцию Л также необходимо фиксировать (и этим определяется дивергентный член) исходя из физических сооб­

ражений, которые в конечном счете оправдываются соответ­

ствием данной модели опытам, в которых наблюдаются скачки

характеристик явлений.

Таким образом, очевидно, что, опираясь на базисное уравне­

ние (1) и на физический смысл его членов, можно использовать и установить непосредственные контакты с термодинамикой,

электродинамикой и химией. С множеством деталей и выводов, связанных с использованием уравнения (1) для восстановления

25