Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
О
ЦЕНКА
ПРОЧНОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕД
С
ДЕФЕКТНОЙ
СТРУКТУРОЙ
85
для
случая
объемного
сжатия
значение
коэффициента
структурного
ослабления
равное
0,369-0,428 [202].
В
США
и
ряде
других
стран
широко
применяется
методика
оценки
трещи
-
новатости
горных
пород
по
показателю
качества
породы
RQD (Rock Qu
а
lity
Designation),
который
определяется
как
произведение
величины
выхода
керна
,
выраженного
в
процентах
(
Z
),
на
отношение
суммарной
длины
ненарушенных
кусков
керна
,
каждый
из
которых
имеет
длину
не
менее
10
см
(
∑
i
l
),
ко
всей
длине
исследуемого
интервала
(
L
),
т
.
е
. RQD=
(
)
∑
L
l
Z
i
/
.
Если
,
например
,
из
исследуемой
скважины
с
интервалом
9
м
извлечен
керн
общей
длиной
8
м
,
а
суммарная
длина
ненарушенных
кусков
керна
(
каждый
длиной
10
см
и
более
)
составляет
7
м
,
то
RQD = 78%.
На
основе
показателя
ка
-
чества
RQD
составлены
графики
,
таблицы
,
определяющие
характер
условий
проведения
выработок
,
тип
и
стоимость
крепления
[202].
В
отличие
от
показателя
RQD,
методы
Дира
и
Хансаги
[203, 204],
незначи
-
тельно
отличаясь
друг
от
друга
,
позволяют
определять
коэффициент
структур
-
ного
ослабления
,
учитывая
при
этом
число
образцов
,
диаметр
и
длину
керна
.
Заметим
,
что
и
метод
RQD ,
и
метод
Хансаги
и
Дира
не
имеют
под
собой
ника
-
кого
аналитического
обоснования
.
По
сути
дела
,
это
способ
получения
некото
-
рой
величины
меньше
единицы
,
которая
годится
только
для
качественной
оце
-
нки
горных
пород
по
степени
их
нарушенности
.
Коэффициент
структурного
ослабления
является
очень
важной
характери
-
стикой
массива
.
На
стадии
проектирования
именно
с
этой
величиной
связан
прогноз
возможной
области
предельного
состояния
пород
в
окрестности
выра
-
ботки
,
а
,
следовательно
,
и
нагрузки
на
крепь
,
поскольку
,
как
было
показано
выше
,
именно
предел
прочности
на
сжатие
фигурирует
в
качестве
основной
физической
константы
в
критериальных
соотношениях
наиболее
распростра
-
ненных
феноменологических
теорий
прочности
.
Поэтому
величина
коэффици
-
ента
структурного
ослабления
должна
быть
достаточно
обоснована
,
включая
в
себя
как
объективные
предпосылки
формирования
физической
константы
,
так
и
субъективные
,
присущие
конкретным
горно
-
геологическим
условиям
.
Р
АЗДЕЛ
4
86
4.5.
Аналитические
исследования
масштабного
эффекта
Аналитическое
описание
отличия
прочности
системы
(
агрегата
)
от
проч
-
ности
его
структурных
элементов
дано
в
работах
,
основанных
на
статистиче
-
ских
теориях
прочности
.
Так
,
опираясь
на
асимптотическое
выражение
В
.
Вейбулла
для
плотности
распределения
наименьших
значений
прочности
(
прочности
дефектов
)
в
некотором
объеме
,
В
.
В
.
Болотин
[
94
]
получил
следую
-
щую
формулу
для
математического
ожидания
прочности
тела
,
имеющего
за
-
данный
объем
V
:
dR
V
R
g
R
∫
∞
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0
0
)
(
exp
.
(4.1)
Здесь
функция
)
(
R
g
определяет
некоторую
область
,
в
которой
функция
напряжений
)
,
,
(
z
y
x
R
,
определенная
во
всей
рассматриваемой
области
про
-
странства
,
превышает
минимальную
прочность
дефекта
0
s
:
(
)
(
)
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0
,
,
0
,
,
)
(
f
z
y
x
R
c
dV
z
y
x
R
R
g
ϕ
α
σ
σ
, (4.2)
где
0
σ
=aR
c
—
минимальная
прочность
дефекта
;
( )
(
)
α
σ
/
1
1
+
=
Г
R
b
c
c
–
параметр
,
имеющий
размерность
напряжений
;
R
c
–
средний
предел
прочности
эталонного
образца
;
a, b,
α
–
коэффициенты
статистического
представления
,
определяемые
на
основании
испытания
образцов
различного
объема
,
( )
α
Г
–
гамма
-
функция
.
Интеграл
(4.2)
представляет
собой
некоторый
приведенный
объем
V*.
По
-
сле
ряда
преобразований
выражение
для
математического
ожидания
прочности
тела
принимает
вид
:
α
1
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∗
−
−
V
V
R
b
R
c
,
(4.3)
где
V
0
–
эталонный
объем
испытываемого
образца
.
Величина
α
1
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∗
V
V
b
представляет
собой
,
по
сути
,
коэффициент
структурно
-
О
ЦЕНКА
ПРОЧНОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕД
С
ДЕФЕКТНОЙ
СТРУКТУРОЙ
87
го
ослабления
.
Применительно
к
горному
массиву
сложно
трактовать
понятие
приведенного
объема
.
Массив
изначально
напряжен
,
т
.
е
.,
если
положить
проч
-
ность
дефекта
равной
нулю
,
то
в
любой
точке
тела
(
массива
)
напряжения
будут
превосходить
прочность
дефекта
,
т
.
е
.
V*
будет
стремиться
к
бесконечности
.
Следовательно
,
прочность
всего
тела
,
т
.
е
.
массива
,
будет
стремиться
к
нулю
.
Этот
результат
абсурден
,
и
,
очевидно
,
не
должен
рассматриваться
.
Но
если
да
-
же
положить
прочность
дефектного
элемента
равной
некоторой
константе
,
от
-
личной
от
нуля
,
область
,
где
действующие
напряжения
превосходят
минималь
-
ную
прочностную
характеристику
,
согласно
известным
решениям
[
205-208
]
бу
-
дет
сопоставима
с
размерами
обнажения
,
но
во
много
раз
превышать
величину
эталонного
образца
.
Отношение
*
0
V
V
опять
таки
будет
близким
к
нулю
.
Уравнения
,
полученные
В
.
В
.
Болотиным
,
хорошо
описывают
масштабный
эффект
для
тел
ограниченных
объемов
и
широко
используются
в
машинострое
-
нии
.
Однако
автоматическое
перенесение
их
в
геомеханику
не
дает
желаемых
результатов
.
Большой
вклад
в
развитие
статистических
теорий
прочности
внесли
труды
Л
.
Г
.
Седракяна
[
90
]
,
следуя
которым
породную
среду
можно
рассматривать
как
конструкцию
,
состоящую
из
отдельных
параллельно
работающих
элементов
различной
прочности
.
При
разрушении
одного
из
них
нагрузка
перераспределя
-
ется
между
уцелевшими
элементами
.
Пусть
на
конструкцию
действует
нагрузка
м
nR
Р
=
.
(4.4)
Элементы
с
пределом
прочности
,
меньшим
м
R
,
разрушаются
.
Число
этих
элементов
R
n
.
Вероятность
встречи
такого
элемента
в
конструкции
по
класси
-
ческому
определению
вероятности
равна
:
( )
n
n
R
Р
R
=
.
(4.5)
При
известной
функции
распределения
предела
прочности
элементов
( )
R
F
вероятность
того
,
что
элемент
имеет
прочность
,
меньшую
м
R
,
равна
Р
АЗДЕЛ
4
88
м
м
R
F
R
R
P
.
(4.6)
Тогда
м
R
R
nF
n
.
(4.7)
Число неразрушенных элементов составит
м
R
F
n
1
. Значение напря-
жений в уцелевших элементах после перераспределения нагрузки между ними
возрастает и станет равным
м
м
R
F
n
nR
1
/
.
(4.8)
Теперь разрушатся элементы, предел прочности которых хотя и больше
м
R
, но меньше последнего выражения. После разрушения этой группы элемен-
тов нагрузка передается на еще меньшее количество элементов. Процесс посте-
пенного разрушения элементов прекратится, когда напряжения в уцелевших
элементах станут меньше предела их прочности. Значение напряжений в уце-
левшем элементе обозначим
R
. Число разрушенных элементов, соответствую-
щее устойчивому состоянию конструкции, равно
R
nF
. Число уцелевших эле-
ментов определится выражением
R
F
n
1
. С другой стороны
R
F
n
nR
R
F
n
P
R
м
1
/
1
/
.
(4.9)
Отсюда
R
F
R
R
м
1
(4.10)
или
R
м
dR
R
P
R
R
0
)
(
1
,
(4.11)
где
R
P
– плотность распределения прочности элементов.
Соотношение (4.11) дает связь между средним напряжением
м
R
и мест-
ным напряжением
R
. Значение предела прочности конструкции равно макси-
мальному значению
м
R
, определенному из (4.11). Таким образом, предел проч-
О
ЦЕНКА
ПРОЧНОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕД
С
ДЕФЕКТНОЙ
СТРУКТУРОЙ
89
ности
породного
массива
в
варианте
Л
.
Г
.
Седракяна
определится
выражением
{
}
))
(
1
(
max
R
F
R
R
м
−
=
.
(4.12)
Конкретный
вид
выражения
(4.12)
зависит
от
выбора
функции
распределе
-
ния
прочности
структурных
элементов
массива
,
в
отношении
которой
могут
выдвигаться
различные
гипотезы
.
Например
,
авторы
[
116
]
,
связывая
масштаб
-
ный
эффект
со
структурой
и
видом
напряженного
состояния
деформированного
твердого
тела
,
рассмотрели
ряд
статистических
задач
,
в
которых
функция
веро
-
ятности
разрушения
принимается
по
В
.
Вейбуллу
[
215
]
.
Разрушение
структур
-
ного
элемента
можно
рассматривать
как
«
отказ
»
системы
,
связанный
с
выходом
из
строя
наиболее
слабого
звена
.
Распределение
Вейбулла
получено
именно
как
распределение
крайних
значений
в
выборке
и
широко
используется
в
статисти
-
ческих
моделях
,
связанных
с
надежностью
систем
,
например
,
как
распределе
-
ние
времени
безотказной
работы
системы
.
Интегральная
функция
распределения
Вейбулла
имеет
вид
:
)
)
/
(
exp(
1
)
(
)
(
0
0
ξ
σ
∫
−
−
=
=
R
R
dR
R
P
R
F
, (4.13)
где
ξ
,
σ
0
–
параметры
распределения
.
Тогда
,
средняя
прочность
системы
(
массива
)
в
соответствии
с
выражением
(4.12)
равна
:
{
}
ξ
σ
)
/
(
exp(
max
0
R
R
R
m
−
⋅
=
.
Минимизируя
выражение
в
фигурных
скобках
,
получим
:
ξ
ξ
ξ
σ
/
1
0
)
/
1
exp(
−
−
=
m
R
.
(4.14)
Выражение
(4.14)
определяет
прочность
пород
в
массиве
с
учетом
случай
-
но
распределенных
дефектов
.
Используя
его
,
можно
получить
коэффициент
структурного
ослабления
.
Лабораторные
образцы
пород
можно
рассматривать
как
структурные
элементы
системы
.
Их
средняя
прочность
в
соответствии
с