Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2		1		2
L	=		r		.	(3.49)
		6

Время диффузии есть отношение свободного пробега и скорости теплового нейтрона до поглощения: tд = λa/υ = 1/(Σaυ). Скорость стандартных тепловых нейтронов (давление атмосферное, t=20°C)

υ ≈ 2200 м/с. Для величин макросечений Σa применяемых в ядерных реакторах (ЯР) материалов время диффузии tд = 10-4–10-5 с. Расче-

ты и опыт показывают, что время диффузии больше времени замедления нейтронов до тепловых энергий, т.е. за время 1 с в ЯР может сменить друг друга до 100000 поколений нейтронов!

Задача 3.2. Пусть бесконечно протяженный плоский источник нейтронов мощностью S с единицы площади расположен в бесконечной однородной среде. Пусть мощность источника как функция не зависит от координат и нейтронное поле в системе характеризуется плоской симметрией относительно источника и описывается

уравнением
	d 2Ф(x)		−	1	Ф(x) +	S	= 0 .	(3.50)
	dx	2	−	2	Ф(x) +	2D	= 0 .	(3.50)
	dx			L		2D

Пусть плоскость источника – это плоскость, проходящая через начало координат (х = 0). Определить плотность потока нейтронов как функцию координат.

Решение. Рассмотрим правое полупространство (x > 0) в силу симметрии. Слагаемое с мощностью источника взято половинным, так как источник симметрично испускает нейтроны в обе стороны.

Общее решение уравнения (3.50)	x ≥ 0 . (3.51)
Ф(x) = const1 exp(−x / L) +const2 exp(x / L) ,

Константы определим из условия ограниченности нейтронного потока (сonst2 = 0) и из условия локализованного источника. Для этого определим проекцию плотности тока нейтронов в точке х = а и перейдем к пределу при a →0 :

(a) = −D

dФ(a)

= Dconst1

exp(−

) , lim Jx (a) =

a→0

следовательно, const1

Окончательное решение уравнения (3.50) имеет вид

Ф(x) =	SL	exp(−	x	) ,	x ≥ 0 .	(3.52)
	2D
			L

В силу симметрии нейтронного поля относительно плоскости

плоского источника
Ф(x) =	SL	exp(−	x	) ,	−∞ ≤ x ≤ +∞ .	(3.53)


	2D
	2D		L

Задача 3.3. Пусть бесконечно протяженный нитевидный ис-

точник нейтронов мощностью S с единицы длины расположен в бесконечной однородной среде. Найти решение уравнения, описывающего плотность потока нейтронов в случае:

d 2Ф(r)

2 dФ(r)

Ф(r) +

= 0 , r ≥ 0 .

−

(3.54)

r dr

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид

Ф(r) = const1K0 (r / L) + const2 I0 (r / L) .

(3.55)

Константы определим из условий ограниченности (сonst2 = 0) и

локализованного источника S = lim[2πaJr (a)] = 2πDconst1 , следо-

a→0

вательно, const1 = 2πSD . Окончательное решение уравнения (3.54)

имеет вид

Ф(r) =	S	K	(r / L) , r > 0 .	(3.56)
	2πD
		0

Задача 3.4. Пусть точечный источник мощностью S расположен в центре однородной сферы радиуса R0, окруженной вакуумом (воздухом). Уравнение диффузии нейтронов в области сферы имеет вид (3.37) с учетом (3.42) и с учетом условия на экстраполированной границе с вакуумом Ф(Rэ)=0 согласно (3.30). Его общее решение имеет вид (3.46). Определить плотность потока нейтронов как функцию координат.

Решение. Используя условие на границе сферы с вакуумом, по-

лучаем const2 =-const1 exp(−2	Rэ	) . Константа сonst1 определяется

	L

исходя из условия локализованного источника. Число нейтронов, утекающих из сферы радиуса R0, окружающей источник, в окружающее пространство, определяется согласно условию локализо-

ванного источника (3.33). Площадь такой сферы SR = v∫ dSR = 4πR2 .

						SR
Так	как	в	рассматриваемом	случае	ток	нейтронов
J (R) = −D		dФ(R)	, то с учетом (3.46)
J (R) = −D		dr	, то с учетом (3.46)
		dr

limR→0 v∫ J (R)dSR			R			R
	= 4πDconst1 exp	−		1	+		.

SR			L			L

При R → 0

limR→0 v∫ J (R)dSR = S S = 4πDconst1 и const1 = 4πSD .

Окончательно распределение плотности потока нейтронов в

сфере определяется функцией

Ф(r) =

exp(−r / L)

−exp(−2

Rэ − r

) .

(3.57)

4πD

Для бесконечно большой сферы Ф(r) =

exp(−r / L)

4πD

Rэ

Графики функции (3.57) практически совпадают при

≥ 2 и

при RLэ → ∞ . На основании этого можно считать, что систему, ха-

рактерный размер которой превышает 2–3 длины диффузии, может считаться бесконечно большой системой.

Задача 3.5. Определить плотность потока нейтронов как функцию координат в случае многослойной системы.

Решение. Рассмотрим много-
слойную систему на примере пло-
ской системы из трех слоев, сим-
метричной относительно плоско-
сти х = 0. Пусть источник нейтро-
нов мощностью S равномерно рас-	Рис. 15. Трехслойная плоская
пределен в центральном слое 1	Рис. 15. Трехслойная плоская
(рис. 15). В силу симметрии отно-	система
(рис. 15). В силу симметрии отно-

сительно плоскости х = 0 достаточно рассмотреть только правое (или левое) полупространство.

В правом полупространстве уравнение диффузии имеет вид

d 2Ф (x)

−

Ф (x)

= 0 ,

0 ≤ x ≤ a ,

(3.58)

dx2

d 2Ф

(x)

−

Ф2 (x) +

= 0

a ≤ x ≤ b .

(3.59)

Решение для каждого слоя имеет вид

Ф1 (х) = const1 exp

S(x)

0 ≤ x ≤ a ,

(3.60)

−

+ const

2 exp

Σa1

Ф2 (х) = const3 exp −

+ const4 exp

a ≤ x ≤ b .

(3.61)

Константы определяется из условий симметрии, сшивки решений на границе, а также из равенства нулю плотности потока нейтронов на экстраполированной границе с вакуумом.

В силу симметрии Ф1(х) = Ф1(-х), следовательно, сonst1 = сonst2, откуда

S(x)

0 ≤ x ≤ a

(3.62)

Ф1 (х) = const5ch −

Σa1

Из

условия

сшивки

решений

на

границе

слоев

и 2

Ф1 (a) = Ф2 (a) и D1dФ1 (a) / dx = D2dФ2 (a) / dx

S(a)

const5ch

−

= const3 exp

−

+ const4 exp

(3.63)

Σa1

const

const5

sh −

= D2

exp −

−

exp

. (3.64)

Для экстраполированной границы (b) с вакуумом имеем

Ф2 (b) =

0 const

3 exp −

+ const

4 exp

= 0 .

(3.65)

Решая совместно уравнения (3.63)–(3.65) можно вычислить значения констант и распределение плотности потока нейтронов в каждом слое.

В заключение данной лекции введем понятие диффузионной функции влияния – функции Грина. Если посмотреть на выражения

(3.47), (3.57), то можно заметить, что плотность потока нейтронов в

случае точечного источника определяется лишь расстоянием до точки наблюдения. Если единичный точечный источник (S = 1) по-

мещен в точке с координатой r0 , то плотность потока нейтронов в точке наблюдения будет определяться выражением

rG−rG

G G

e−

G(r ,r0 ) =

(3.66)

4πD

− r

Функция (3.66) удовлетворяет уравнению диффузии с учетом неотрицательности и ограниченности во всей области определения. По аналогии эта функция может быть введена и для других вышеописанных видов источников. В случае создания нейтронного поля

в бесконечно протяженных однородных средах несколькими (i)

источниками с различными мощностями Si применяется принцип суперпозиции (наложения) нейтронных полей, создаваемых каж-

дым из источников в отдельности. В этом случае плотность потока нейтронов будет определяться выражением

rG−rG

e−

∑Si

Ф(r ) =

(3.67)

4πD

− r

Если же источник распределен в некотором объеме V, то

Ф(rG) = ∫S(rG0 )G(rG,rG0 )drG0 ,

(3.68)

G G V

где G(r ,r0 ) определяется выражением (3.66).

Примечание. При решении задач (3.66) используется для вычисления плотности потока нейтронов для бесконечного нитевидного источника, а также в методе «ложного» источника.

3.4.Интегральное уравнение для потока моноэнергетических нейтронов

Получим распределение плотности потока нейтронов в элементе объема среды, поверхность которого извне нейтроны не пересекают. Пусть нейтрон, рассеявшись в точке r′ попал в точку r . Для этого требуется промежуток времени t′ = t − rG′− rG / υ, где υ – ско-

рость нейтрона. Тогда число нейтронов, рассеявшихся вблизи точ-

Источник: https://studfile.net/preview/16708734/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард