Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

ки rG′ в элементе объема dV′ равно ΣsФ(rG′)dt′dV ′, где Ф(r′) – плот-

ность потока нейтронов в точке r′. Источники, обладающие, как правило, сферической симметрией, за то же время в том же объеме дают S(rG′)dt′dV ′ нейтронов. Таким образом, полное число нейтро-

нов, родившихся в элементе объема dV′ за время dt′, равно

[ΣsФ(rG′) + S(rG′)]dt′dV ′.

Вероятность того, что нейтроны достигнут точки r′, не испытав по пути столкновения, равна exp(−Σt rG′− rG ) , где Σt – полное мак-

росечение взаимодействия нейтронов со средой. В случае изотропного взаимодействия нейтроны, рассеянные в объеме dV′, спустя время t′ = t − rG′− rG / υ равномерно заполнят сферический слой объ-

емом 4π rG′− rG 2 υdt′. Отсюда плотность нейтронов вокруг точки r ,

жение по всему объему, откуда могут поступить нейтроны, опреде-

Уравнение (3.69) называют интегральным уравнением Пайерлса для потока нейтронов. При выводе этого уравнения не делалось никаких упрощающих предположений, как для уравнения диффузии, поэтому уравнение (3.69) справедливо в областях, как угодно близких к границам объема V. Если же считать макросечения функциями координат, то это уравнение еще более усложняется. Его точное решение даже в простейшем случае весьма затруднительно, поэтому всегда делают ряд упрощающих предположений. Например, используя условия применимости диффузионного при-

76

ближения с помощью разложения функций в ряд Тэйлора с ограничением двумя первыми членами, можно из интегрального уравнения (3.69) получить уравнение диффузии (3.23). Уравнение (3.69) можно также заменить системой алгебраических уравнений.

3.5. Влияние отражателя

Отражателем нейтронов называется среда, которая в силу своих свойств хорошо рассеивает (отражает) нейтроны и слабо их поглощает. Если отражателем окружить размножающую (мультиплицирующую) среду, например, активную зону ЯР, то это будет иметь ярко выраженный эффект в виде уменьшения утечки нейтронов из активной зоны и повышения эффективности ядерной энергетической установки (ЯЭУ). Образуется характерный всплеск плотности потока ТН в ЯР с отражателем (рис. 16), который в общем случае может даже превышать величину потока в центре активной зоны ЯР. Утекающие из активной зоны эпитепловые нейтроны, попадая в отражатель, в силу слабого поглощения в отражателе накапливаются, образуя характерный рост плотности ТН по толщине отражателя. В силу этого часть ТН диффундирует обратно в активную зону, но утечка ТН полностью НЕ ликвидируется. Применение отражателя позволяет также уменьшить критические размеры активной зоны и частично выровнять ее нейтронное поле.

Рис. 16. Распределение плотности потока замедляющихся и тепловых нейтронов в «голом» ЯР и ЯР

с отражателем: R0 – граница активной зоны; R – экстраполированная граница «голого» ЯР; Rотр – граница отражателя; δ – длина экстраполяции «голого» ЯР

Толщина отражателя влияет на его эффективность, стремятся определить оптимальную толщину отражателя, так как при недос-

77

таточной толщине будет происходить большая утечка нейтронов сквозь отражатель, а при избыточной – расти его стоимость и сложность изготовления.

Альбедо β – отражательная способность (поверхности среды), показывающая, какая часть падающих на поверхность частиц отражается обратно в среду. В предыдущих лекциях была выведена формула (3.16). Деля числитель и знаменатель дроби на Ф(0,t)/4 (время t для стационарных задач опускаем) и заменяя 1/ (3Σtr ) = D

( β ≠1 ).

Определим альбедо плоского и цилиндрического отражателей, для этого найдем согласно (3.70) распределение плотности потока нейтронов в отражателе.

Плоский отражатель конечной толщины. Вернемся к рас-

смотрению задачи о плоской трехслойной системе, описываемой уравнениями (3.58)–(3.65), но в новом качестве: слой 1 будем считать активной зоной ЯР, а слой 2 – плоским отражателем

(«2»=«отр»).

Сучетом имеющейся симметрии Ф2(х) = Ф2(–х), т.е. сonst3 =

=сonst4. По-прежнему, считая х = b – экстраполированная граница отражателя с вакуумом, т.е. Ф2(b) = 0, получим

78

Из выражения (3.72) следует, что при уменьшении поглощающих свойств в отражателе L2 растет вместе с альбедо β. Ранее указывалось на примере решения (3.57), что систему, характерный размер которой превышает 2–3 длины диффузии L, может считаться бесконечно большой системой (средой). При толщине b − a ≥ (2 ÷3)L2 плоского отражателя его можно считать бесконеч-

но протяженным сth b − a →1 и

L2

Из условия (3..73) становится ясно, почему реальные отражатели имеют конечные величины толщины и альбедо (не только из соображений экономии материала).

Сферический отражатель конечной толщины. Пусть дан сферический отражатель радиуса b и конечной толщины b–a, окружающий сферическую активную зону радиуса r = a. По аналогии с предыдущим случаем с учетом решения (3.46) имеем

Тогда для границы активная зона–сферический отражатель (r = а) имеем

откуда видно, что βплоск >βсферич , но для бесконечных сред при

r → ∞ βплоск =βсферич .

На границе с отражателем свойства среды (активной зоны) резко меняются, поэтому использовать условия сшивки решений на границе активной зоны и отражателя нельзя. Для учета влияния отражателя и получения верного решения в диффузионном при-

79

ближении пользуются альбедными граничными условиями, подобными (3.30/), где альбедо определяется, например, экспериментально. Записывая формулу (3.70) с учетом (3.30/) в виде

сколько раз длина экстраполяции «голого» реактора δгол меньше, чем эффективная добавка δотр в реакторе с отражателем.

3.6. Одногрупповое (односкоростное) диффузионное приближение

Строго говоря, функция плотности потока нейтронов зависит не толькоG от пространственных координат, но и от энергии нейтронов – Ф(r, E) . Это обусловлено зависимостью от энергии величин, вхо-

дящих в уравнениеG балансаG нейтронов (D, Σ ). Только если представлять Ф(r, E) = Ф(r )ϕ(E) , функция Ф(r ) удовлетворяет стацио-

нарному уравнению диффузии вида (3.23):

S(r ) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0 .

В общей физике показывается, что поведение отдельного, не взаимодействующего с другими частицами, атома в каждый момент времени можно полностью описать 6 координатами (6-мерное пространство): три пространственные координаты x, y, z и три со-

80