Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
áåñêîíå÷íî áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ â ìîìåíò êîììóòàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè
è ïðîòèâîïîëîæíûìè, ò. å.
L di
dt
L di
dt
t
1
1
2
2
0
0
= -
- < < +
ï è
ð
.
Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò
t
=
–0 äî
t
=
+0, íàõîäèì
L
di
dt
dt
L
di
dt
dt
t
t
t
t
1
1
0
0
2
2
0
0
=-
=+
=-
=+
ò
ò
= -
(**)
èëè
( )
( )
( )
( )
L
di
L
di
i
i
i
i
L
L
L
L
1
1
0
0
2
2
0
0
1
1
2
2
-
+
-
+
ò
ò
= -
,
ò. å.
L i
i
L i
i
L
L
L
L
1 1
1
2 2
2
0
0
0
0
[ ( )
( )]
[ ( )
( )],
+ -
-
= -
+ -
-
èëè
L i
L i
1
1
2
2
1
2
0
D
D
DY DY
= -
+
=
,
.
èëè
Òàê êàê
i
i
i
i
L
L
L
1
2
2
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
,
+ =
+ = +
- =
è
òî
(
) ( )
( ).
L
L i
L i
L
1
2
1 1
0
0
+
+ =
-
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà
DY
1
+
DY
2
=
0 âèäíî, ÷òî â ïðî-
öåññå êîììóòàöèè
îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà ïîòîêîñöåïëåíèé ñ îáåèìè êàòóø-
êàìè.
Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ òîê
i
(+0)
i
i
L
L
L
U
r
L
L
L
L
( )
( )
,
+ =
-
+
=
+
0
0
1
1
1
2
1
1
1
2
îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííóþ
A
èç âûðàæåíèÿ (*):
U
r
L
L
L
U
r
r
A
1
1
1
2
1
2
+
=
+
+
.
Òàêèì îáðàçîì,
i i Ae
U
r
r
U
r
L
L
L
U
r
r
e
t
r r
= +
=
+
+
+
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
-
- +
'
t
1
2
1
1
1
2
1
2
1 2
L L
t
1 2
+
.
Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êîììóòàöèÿ ïðîèñõîäèò çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè (
D
t
®
0), òåîðåòè÷åñêè ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ
íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ, ò. å. ýòè íàïðÿæåíèÿ ïðèíÿëè âèä
èìïóëüñîâ
áåñêîíå÷-
íî áîëüøîé àìïëèòóäû, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
(
D
t
®
0) (ðèñ. 9.27). Îäíàêî èíòåãðàëû (**) ýòèõ èìïóëüñîâ çà âðåìÿ êîììóòà-
öèè èìåþò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ è ðàâíû ïðèðàùåíèÿì ïîòîêîñöåïëåíèé â êàòóø-
êàõ
DY
1
è
DY
2
.
48
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïåðâîé
êàòóøêè äî êîììóòàöèè,
W
L i
L U
r
L
ì
( )
[ ( )]
- =
-
=
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
0
2
0
2
1
1
2
1
1
2
áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ìàãíèòíûõ ïîëÿõ îáå-
èõ êàòóøåê ïîñëå êîììóòàöèè:
W
L
L i
L U
r
L
L
L
ì
( )
[ ( )]
.
+ =
+
+
=
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
0
2
0
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
Ðàçíîñòü ýòèõ ýíåðãèé ðàñõîäóåòñÿ íà íåîáðàòè-
ìûå ïðîöåññû âî âðåìÿ êîììóòàöèè, õîòÿ äëèòåëü-
íîñòü êîììóòàöèè áåñêîíå÷íî ìàëà. Ýòî âîçìîæíî,
òàê êàê íà ó÷àñòêàõ öåïè ðàçâèâàþòñÿ áåñêîíå÷íî
áîëüøèå ìîùíîñòè.
Òàêèå ðåçóëüòàòû — èòîã ïðåäåëüíîé èäåàëèçà-
öèè ÿâëåíèÿ. Â äåéñòâèòåëüíîñòè ñîïðîòèâëåíèå
êëþ÷à íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ äî áåñêî-
íå÷íîñòè, òàê êàê áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êîí-
òàêòàìè êëþ÷à âûçîâóò ìåæäó íèìè ýëåêòðè÷åñêóþ
èñêðó èëè ýëåêòðè÷åñêóþ äóãó. Êðîìå òîãî, âñÿêàÿ êà-
òóøêà îáëàäàåò ðàñïðåäåëåííîé åìêîñòüþ ìåæäó åå
âèòêàìè, òàê æå êàê èìååòñÿ åìêîñòü ìåæäó ðàñõîäÿ-
ùèìèñÿ êîíòàêòàìè êëþ÷à; ïîýòîìó ïðîöåññ êîììóòàöèè ñîâåðøàåòñÿ â êîíå÷-
íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
D
t
, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàâåðøàåòñÿ áûñòðî ïðîòåêàþ-
ùèé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ îò ìîìåíòà íà÷àëà äî ìîìåíòà êîíöà êîììóòàöèè.
Ýòîò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèé ïàðàìåòðîâ ìîæåò
áûòü àïåðèîäè÷åñêèì èëè êîëåáàòåëüíûì ñ î÷åíü âûñîêîé ÷àñòîòîé, è ðàçíîñòü
ýíåðãèé
W
ì
(–0) –
W
ì
(+0) ðàñõîäóåòñÿ â ñîïðîòèâëåíèÿõ öåïè, â ÷àñòíîñòè â ñî-
ïðîòèâëåíèÿõ ìåæäó êîíòàêòàìè êëþ÷à, èëè íà èçëó÷åíèå ïðè î÷åíü âûñîêîé
÷àñòîòå. Ýòîò ïðîöåññ, ïðîõîäÿùèé çà âðåìÿ
D
t
, ïðè îòìå÷åííîé âûøå èäåàëè-
çàöèè íå ðàññìàòðèâàåì. Íî åñëè åãî ðàññìîòðåòü, òî áóäóò ñïðàâåäëèâû ñôîð-
ìóëèðîâàííûå â § 9.4 ôèçè÷åñêèå óñëîâèÿ êîììóòàöèè — íåèçìåííîñòü òîêîâ
â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ, à òàêæå íåèçìåííîñòü ýíåðãèé, çà-
ïàñåííûõ â êàòóøêàõ è êîíäåíñàòîðàõ.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî, ñîáëþäàÿ óñëîâèå
L
1
/
r
1
=
L
2
/
r
2
, ïîëó÷èì
A
=
0, ò. å.
íîâîå óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó ïîñëå êîì-
ìóòàöèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâà-
íî, åñëè íàì æåëàòåëüíî â î÷åíü êîðîòêèé ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè
D
t
èçìåíèòü ïîñòîÿííûé òîê â êàòóøêå.
Åñòåñòâåííî, èçîëÿöèÿ êàòóøåê äîëæíà âûäåðæèâàòü
èìïóëüñû âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.28, ïðè çàìûêàíèè êëþ-
÷à, ò. å. ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè åìêîñòè îò
C
1
äî
C
1
+ C
2
, ïðåäïî-
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
49
Ðèñ. 9.27
Ðèñ. 9.28
ëàãàÿ, ÷òî âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè
C
1
è
C
2
íå èìåþò èíäóêòèâíîñòåé è ñîïðîòèâ-
ëåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð
C
1
áûë çàðÿæåí äî
íàïðÿæåíèÿ
U
, à êîíäåíñàòîð
C
2
íå áûë çàðÿæåí.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à ïðèìåò âèä
ri u
U
r C
C du
dt
u
U
C
C
C
+
=
+
+
=
èëè
(
)
1
2
è èìååò ðåøåíèå
u
u
Ae
C
Ñ
t
= ¢ +
-
t
,
(***)
ãäå
¢ =
u
U
Ñ
è
t =
r
(
C
1
+
C
2
).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
À
íåëüçÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè íàïðÿ-
æåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ
C
1
è
C
2
â ìîìåíòû
t
=
–0 è
t
=
+0, òàê êàê ïðè
t
=
–0 áûëî
u
1
C
(–0)
=
U
¹
0 è
u
2
C
(–0)
=
0, à ïðè
t
=
+0 èìååì
u
1
C
(+0)
=
u
2
C
(+0).
Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû
ñêà÷êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè â âåòâÿõ
C
1
è
C
2
èì-
ïóëüñîâ òîêà áåñêîíå÷íîé àìïëèòóäû è áåñêîíå÷íî ìàëîé äëèòåëüíîñòè. Òàê
êàê ñóììàðíûé òîê
i
îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, òî ýòè èìïóëüñû ðàâíû ïî àìïëèòóäå è
ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, ò. å.
C du
dt
C du
dt
t
C
C
1
1
2
2
0
0
= -
- < < +
ïðè
.
Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò
t
=
–0 äî
t
=
+0, íàõîäèì
( )
( )
( )
( )
C
du
C
du
C
u
u
C
u
u
C
C
C
C
1
1
0
0
2
2
0
0
1
1
2
2
-
+
-
+
ò
ò
= -
,
ò. å.
C u
u
C u
u
C
C
C
C
1
1
1
2
2
2
0
0
0
0
[ ( )
( )]
[
( )
( )],
+ -
-
= -
+ -
-
èëè
C u
C u
q
q
C
C
1
1
2
2
1
2
0
D
D
D
D
= -
+
=
èëè
.
Òàê êàê
u
1
C
(+0)
=
u
2
C
(+0)
=
u
C
(+0), è
u
2
C
(–0)
=
0, òî
(
) ( )
( ).
C
C u
C u
C
C
1
2
1 1
0
0
+
+ =
-
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà
D
q
1
+
D
q
2
=
0 âèäíî, ÷òî â ïðî-
öåññå êîììóòàöèè
îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà çàðÿäîâ îáîèõ êîíäåíñàòîðîâ.
Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íàïðÿæåíèå
u
C
(+0):
u
u
C
C
C
U
C
C
C
C
C
( )
( )
,
+ =
-
+
=
+
0
0
1
1
1
2
1
1
2
îïðåäåëèì ïîñòîÿííóþ
À
èç âûðàæåíèÿ (***). Ïîëó÷èì
u
u
Ae
U U
C
C
C
e
C
Ñ
t
t
= ¢ +
= +
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
-
-
t
t
1
1
2
1
.
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà
Ñ
1
äî êîììóòàöèè
W
ý
(–0)
=
C
1
U
2
/2
50
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â îáîèõ êîíäåíñàòîðàõ ïîñëå êîììóòàöèè:
W
C
C u
C U
C
C
C
C
ý
( )
[ ( )]
.
+ =
+
+
=
+
0
2
0
2
1
2
2
1
2
1
1
2
 äåéñòâèòåëüíîñòè ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè êîììóòàöèè ïðîèñõîäÿò è â
ýòîé öåïè çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè è èìåþò õàðàêòåð, àíàëîãè÷íûé ðàñ-
ñìîòðåííîìó â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.
9.12. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé öåïè
Îáùóþ ìåòîäèêó ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
ðàññìîòðèì íà ïðèìåðàõ öåïåé, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 9.29 è 9.30.
1. Ïðèìåíèì ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ äëÿ öåïè (ðèñ. 9.29), îáðàçîâàâøåéñÿ ïîñëå
ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. Èìååì
(
)
(
)
;
r
r i
L
L di
dt
r i
L di
dt
e
r i
L di
d
1
3 1
1
3
1
3 2
3
2
1
3 1
3
1
+
+
+
+
+
=
+
t
r
r i
L di
dt
C
i dt u
e
t
C
+
+
+
+
+
=
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
ò
(
)
( )
.
2
3
2
3
2
2
0
2
1
0
(*)
Ðåøèì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîíòóðíîãî òîêà
i
1
. Îáîçíà÷èì
îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóêâîé
D
=
d
/
dt
è îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ îò 0
äî
t
÷åðåç 1/
D
. Òîãäà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòèêè, äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé ìîæíî, îïåðèðóÿ ýòèì ñèìâîëîì êàê íåêîòîðîé âåëè÷èíîé, ðåøèòü ñèñòåìó
óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî îäíîé íåèçâåñòíîé. Èìååì
[
(
) ]
(
)
;
(
)
r
r
L
L D i
r
L D i
e
r
L D i
r
r
1
3
1
3
1
3
3
2
1
3
3
1
2
3
+ +
+
+
+
=
+
+
+ +
L D
C D
i
e
u
C
3
2
2
2
1
0
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ = -
( ).
Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà
r
2
+
r
3
+
L
3
D
+1/(
C
2
D
), à âòîðîå — íà
r
3
+
L
3
D
è âû÷òåì èç ïåðâîãî âòîðîå. Ïîëó÷èì
[
(
) ]
(
)
r
r
L
L D r
r
L D
C D
i
r
L D
1
3
1
3
2
3
3
2
1
3
3
2
1
+ +
+
+ +
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ - +
i
r
r
L D
C D
e
r
L D e
u
C
1
2
3
3
2
1
3
3
2
1
0
=
=
+ +
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ - +
-
(
)[
( )]
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
51
Ðèñ. 9.29
Ðèñ. 9.30
èëè, îáîçíà÷àÿ
L L
a
L r
r
L r
r
a
r r
r r
r r
L
1 3
3
1
2
3
3
1
2
2
1 2
2 3
3 1
1
=
+
+
+
=
+
+
+
;
(
)
(
)
;
(
)
+
=
+
=
L
C
a
r
r
C
a
3
2
1
1
3
2
0
;
,
íàõîäèì
a D i
a D i
a Di
a i
L D e
r
r De
C
e
3
3
1
2
2
1
1
1
0 1
3
2
1
2
3
1
2
1
1
+
+
+
=
=
+
+
+
-
(
)
L D e
u
r D e
u
C
C
3
2
2
3
2
0
0
[
( )]
[
( )].
-
-
-
Èìåÿ â âèäó, ÷òî
D i d i
dt
D i d i
dt
Di di
dt
DA dA
dt
A
3
3
3
2
2
2
0
=
=
=
=
=
=
;
;
(
,
è
const
)
ïîëó÷èì èñêîìîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî òîêà
i
1
:
a d i
dt
a d i
dt
a di
dt
a i
b d e
dt
b de
dt
3
3
1
3
2
2
1
2
1
1
0 1
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+
-
-
b e c d e
dt
c de
dt
0 1
2
2
2
2
1
2
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ïðèìåò âèä
a
a
a
a
3
3
2
2
1
0
0
a
a
a
+
+
+
=
.
Äàííîå óðàâíåíèå èìååò òðè êîðíÿ:
a
1
,
a
2
,
a
3
— è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñâîáîä-
íîãî òîêà
¢¢
i
1
ìîæåì íàïèñàòü
¢¢ =
+
+
i
A e
A e
A e
t
t
t
1
11
12
13
1
2
3
a
a
a
.
Òàê æå êàê â § 9.2, ïåðâûé èíäåêñ ó ïîñòîÿííûõ
A
ks
îòíîñèòñÿ ê èñêîìîìó
òîêó, à âòîðîé — ê êîðíÿì óðàâíåíèÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíîå ðåøåíèå äëÿ òîêà
i
1
áóäåò
i
i
A e
A e
A e
t
t
t
1
1
11
12
13
1
2
3
= ¢ +
+
+
a
a
a
.
Êàê áûëî îòìå÷åíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ
A
11
,
À
12
,
À
13
íåîáõîäèìî çíàòü
i
1
è åãî ïðîèçâîäíûå
di
1
/
dt
è
d
2
i
1
/
dt
2
â ìîìåíò âðåìå-
íè
t
=
0, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé
íà êîíäåíñàòîðàõ äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à:
i
1
L
(
–
0),
i
3
L
(–0) è
u
C
(–0), à òàêæå ÷åðåç
òîê
¢
i
1
óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè
t
=
+0.
Çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ìåòîäàì, èçëîæåííûì â ãë. 5 è 8, â çàâèñèìîñòè îò âèäà ÝÄÑ
e
1
è
e
2
.
Çíà÷åíèÿ
i
1
(–0),
i
2
(–0) è
u
C
(–0) áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè, òàê êàê èõ ëåãêî ðàññ÷èòàòü äëÿ
öåïè ñ çàìêíóòûì êëþ÷îì.
 ìîìåíò êîììóòàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè òîêè â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ.
Ïîñêîëüêó
i
1
L
=
i
1
è
i
3
L
=
i
2
+
i
1
, òî èìååì
i
1
(+0)
=
i
1
L
(–0),
i
1
(
+
0) +
i
2
(
+
0)
=
i
3
L
(0)
=
0
èëè
i
2
(
+
0)
=
–
i
1
(+0). Äëÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîëó÷èì
u
C
(+0)
=
u
C
(–0).
Çàìåòèì, ÷òî â îòíîøåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé çäåñü íå âîçíèêàåò îñîáåííî-
ñòåé, îòìå÷åííûõ ïðè ðàññìîòðåíèè âòîðîãî ïðèìåðà â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå.
Õîòÿ â äàííîì ñëó÷àå òàêæå ðàçìûêàåòñÿ êëþ÷, çàìûêàâøèé âåòâü ñ èíäóêòèâ-
52
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé