Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
íîñòüþ, íî òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ
ñòàëè ðàâíûìè äðóã äðóãó, îòñóòñòâóåò, òàê êàê åñòü ïóòü äëÿ òîêà ÷åðåç âòîðóþ
âåòâü, â êîòîðîé íåò èíäóêòèâíîñòè è â êîòîðîé òîê ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ òîêà
i
1
â ýòîì ñëó÷àå ïðîùå âñåãî ïîñòóïèòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå (*) èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì óðàâíå-
íèå ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îáà èñòî÷-
íèêà ÝÄÑ:
r i
L di
dt C
i dt u
r i
e
e
t
C
1 1
1
1
2
0
2 2
1
2
1
0
+
-
-
-
=
-
ò
( )
.
Îòñþäà îïðåäåëèì
L di
dt
1
1
ïðè
t
=
0:
L di
dt
e
e
r i
u
r i
t
C
1
1
0
1
2
1 1
2 2
0
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0
0
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
-
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( ).
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
¢ - ¢ =
+
-
-
e
e
r di
dt
L d i
dt
i
C
r di
dt
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
.
 ýòîì óðàâíåíèè â ìîìåíò
t
=
0 íåèçâåñòíû
d i
dt
2
1
2
è
di
dt
2
.
Îïðåäåëèì
di
dt
t
2
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
èç âòîðîãî êîíòóðíîãî óðàâíåíèÿ (*):
L di
dt
e
r i
i
i
r
L d
t
3
2
0
2
3 1
2
2
2
3
0
0
0
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
+
-
-
=
( )
[ ( )
( )]
( )
i
dt
u
t
C
1
0
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
=
( ).
Ïîäñòàâëÿÿ
di
dt
t
2
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
â ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì çíà÷åíèå âòîðîé ïðî-
èçâîäíîé òîêà
i
1
ïðè
t
=
0.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èìååì
i
i
A
A
A
di
dt
di
dt
t
1
1
11
12
13
1
0
1
0
0
( )
( )
;
= ¢
+
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
¢
æ
è
ç
ö
=
ø
÷
+
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
¢
=
=
t
t
A
A
A
d i
dt
d i
dt
0
1 11
2 12
3 13
2
1
2
0
2
1
a
a
a
;
2
0
1
2
11
2
2
12
3
2
13
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
+
+
=
t
A
A
A
a
a
a
,
ãäå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëåâà, óæå îïðåäåëåíû. Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè òðè óðàâíå-
íèÿ, íàéäåì ïîñòîÿííûå
A
11
,
A
12
,
A
13
.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà
i
2
, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîòîðîãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
i
i
A e
A e
A e
t
t
t
2
2
21
22
23
1
2
3
= ¢ +
+
+
a
a
a
,
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
53
ìîæíî ïðîèçâåñòè àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû, ïðè÷åì âûðàæåíèå äëÿ (
d
2
i
2
/
dt
2
)
t
=
0
ëåã-
êî îïðåäåëèòü ïî èçâåñòíîé (
d
2
i
1
/
dt
2
)
t
=
0
è ïî îñòàëüíûì âåëè÷èíàì, îïðåäåëåí-
íûì âûøå äëÿ
i
1
.
2.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà öåïè ñî âçàèìíîé èíäóêöèåé ðàññìîòðèì ðàñ÷åò
öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.30. Óðàâíåíèÿ äëÿ ýòîé öåïè èìåþò âèä
i r
L di
dt
M di
dt
u M di
dt
r i
L di
dt
1 1
1
1
2
1
2 2
2
2
0
+
+
=
+
+
=
;
.
Îáîçíà÷àÿ
d
/
dt
=
D
, ðåøèì ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî
i
1
. Ïîëó÷èì
(
)(
)
(
)
r
L D r
L D i
M D i
r
L D u
1
1
2
2
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2
2
1
2
2
+
+
-
=
+
èëè
(
)
(
)
.
L L
M D i
r L
r L Di
r r i
L Du r u
1 2
2
2
1
1 2
2 1
1
1 2 1
2
2
-
+
+
+
=
+
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
D
n
i
=
d
n
i
/
dt
n
, íàõîäèì
(
)
(
)
L L
M
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dt
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r L di
dt
r r i
r u L du
d
1 2
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2
1
2
1 2
2 1
1
1 2 1
2
2
-
+
+
+
=
+
t
.
(**)
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
(
(
,
L L
M
r L
r L
r r
1 2
2
2
1 2
2 1
1 2
0
-
+
+
+
=
)a
)a
îòêóäà äëÿ äâóõ åãî êîðíåé
a
1
è
a
2
ïîëó÷àåì
a
1 2
1 2
2 1
1 2
2
1 2
2 1
2
1 2
2
1
2 1
,
(
)
(
)
= -
+
-
±
+
-
é
ë
ê
r L
r L
L L
k
r L
r L
k L L
ù
û
ú -
-
2
1 2
1 2
2
1
r r
L L
k
(
)
,
ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
M
2
=
k
2
L
1
L
2
.
Ïóñòü âêëþ÷åíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîä äåéñò-
âèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ
è
=
U
=
const. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (**), ïîëàãàÿ
â íåì âñå ïðîèçâîäíûå è òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðàâíûìè íóëþ, ïîëó÷èì òîê óñòà-
íîâèâøåãîñÿ ðåæèìà
i
¢
=
U/r
1
, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò òàêæå èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà
i
1
èìååì âûðàæåíèå
i
i
i
U
r
A e
A e
t
t
1
1
1
1
11
12
1
2
= ¢ + ¢¢ =
+
+
a
a
.
Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå îïðåäåëèì, èìåÿ â âèäó, ÷òî
i
i
i
i
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
( )
( )
;
( )
( )
.
+ =
- =
+ =
- =
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ìîìåíòà
t
=
0 íàõîäèì
ri
2
(0)
=
0 è
M di
dt
L di
dt
di
dt
t
t
t
1
0
2
2
0
2
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
= - æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=
=
èëè
= -
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
M
L
di
dt
t
2
1
0
.
Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíåå â óðàâíåíèå äëÿ ïåðâîãî êîíòóðà, íàéäåì ïðè
t
=
0
L
M
L
di
dt
U
di
dt
U
t
t
1
2
2
1
0
1
0
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=
=
èëè
L
k
1
2
1
(
)
.
-
54
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Òàêèì îáðàçîì, ïðè
t
=
0 èìååì
i
U
r
A
A
1
1
11
12
0
0
( )
;
= =
+
+
di
dt
U
L
k
A
A
t
1
0
1
2
1 11
2 12
1
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
=
+
=
(
)
,
a
a
îòêóäà, îïðåäåëèâ
A
11
è
A
12
, äëÿ
i
1
ïîëó÷èì
i
U
r
U
L
k
e
e
U
r
e
t
t
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
=
+
-
-
-
+
-
(
)(
)
(
)
(
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
1
t
t
e
- a
a
).
Èìåÿ â âèäó, ÷òî
¢
i
2
=
0, íàõîäèì
i
A e
A e
t
t
2
21
22
1
2
=
+
a
a
.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè
t
=
0:
i
di
dt
M
L
di
dt
UM
L L
t
t
2
2
0
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1
0
1 2
0
0
( )
;
(
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
= -
æ
è
ç
ö
ø
÷
= -
=
=
1
2
-
k
)
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
0
1
21
22
1 2
2
1 21
2
22
=
+
-
-
=
+
A
A
UM
L L
k
A
A
è
(
)
,
a
a
îòêóäà
A
A
UM
L L
k
i
UM
L L
k
21
22
1 2
2
1
2
2
1 2
2
1
1
1
= -
= -
-
-
= -
-
-
(
)(
)
;
(
)(
a
a
a
a
a
a
2
1
2
)
(
).
e
e
t
t
-
Çàâèñèìîñòè
i
1
è
i
2
îò âðåìåíè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9.31.
Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà
i
1
,
â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè òîê
i
1
ðàñòåò áûñòðåå ïî ñðàâ-
íåíèþ ñî ñëó÷àåì, êîãäà âòîðè÷íûé êîíòóð ðàçîìêíóò
èëè êîãäà
k
=
0. Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ òîêà
i
2
çíàêî-
ïåðåìåííà, òî óáûñòðåíèå ïðîöåññà íàðàñòàíèÿ òîêà
i
1
ïðîèñõîäèò íå âñå âðåìÿ. Ñïóñòÿ íåêîòîðûé ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ òîêà
i
2
ìåíÿåò çíàê, íà-
ëè÷èå âòîðè÷íîãî êîíòóðà, íàîáîðîò, ïðèâîäèò ê çàìåä-
ëåíèþ ðîñòà òîêà
i
1
â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè.
Äëÿ ñðàâíåíèÿ íà ðèñ. 9.31 øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà
çàâèñèìîñòü
i
1
(
t
) ïðè îòñóòñòâèè ìàãíèòíîé ñâÿçè.
9.13. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
ìåòîäîì ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ
Ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ôîðìèðîâà-
íèå è ðåøåíèå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, äàæå äëÿ ñðàâ-
íèòåëüíî ïðîñòûõ öåïåé îêàçûâàþòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèìè. Â ñâÿçè ñ ýòèì áîëü-
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
55
Ðèñ. 9.31
øîå çíà÷åíèå èìååò ðàçðàáîòêà êîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷.
 íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåí ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòî-
ðûé èñòîðè÷åñêè ÿâèëñÿ ïåðâûì ìåòîäîì, ïîçâîëèâøèì àëãîðèòìèçèðîâàòü
ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà.
Ïîíÿòèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ áûëî ââåäåíî â § 9.3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïî-
ëÿ
W
ì
êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ
L
ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç òîê
i
L
êàòóøêè
èëè åå ïîòîêîñöåïëåíèå
Y
:
W
L
Li
L
ì
=
=
Y
2
2
2
2
.
Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
W
ý
êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ
C
àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç íàïðÿæåíèå
u
C
íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà
èëè åãî çàðÿä
q
:
W
q
C
Cu
C
ý
=
=
2
2
2
2
.
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæåò áûòü îä-
íîçíà÷íî îïðåäåëåíî óêàçàíèåì çíà÷åíèé ïîòîêîñöåïëåíèé èëè òîêîâ âñåõ êà-
òóøåê èíäóêòèâíîñòè è çàðÿäîâ èëè íàïðÿæåíèé âñåõ êîíäåíñàòîðîâ. Äëÿ îïðå-
äåëåííîñòè, áóäåì èñïîëüçîâàòü äàëåå â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ òîêè
êàòóøåê èíäóêòèâíîñòåé
i
L
è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ
u
C
.
Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
â òàê íàçû-
âàåìîé íîðìàëüíîé ôîðìå:
dx
dt
a x
a x
a x
f t
dx
dt
a x
a x
n n
1
11 1
12 2
1
1
2
21 1
22 2
=
+
+
+
+
=
+
+
K
( );
K
L L L L L L L L L L L
K
+
+
=
+
+
+
a x
f t
dx
dt
a x
a x
a x
n n
n
n
n
nn n
2
2
1 1
2 2
( );
+
f t
n
( ),
ãäå
a
ij
(
i
,
j
=
1, 2, …,
n
) — ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëÿåìîé òîïîëîãè-
åé àíàëèçèðóåìîé öåïè è ïàðàìåòðàìè åå ýëåìåíòîâ,
f
i
(
i
=
1, 2, …,
n
) — ýëåìåíòû
âåêòîðà, òàêæå îïðåäåëÿåìûå òîïîëîãèåé öåïè è ïàðàìåòðàìè äåéñòâóþùèõ â
íåé èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè.
×òîáû êàæäîå óðàâíåíèå, íàïèñàííîå ñîãëàñíî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì
Êèðõãîôà, áûëî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî
i
L
è
u
C
, êàæäûé êîíòóð è ñå÷åíèå äîëæíû ñîäåðæàòü òîëüêî îäèí ðåàêòèâíûé
ýëåìåíò.
Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà â ãðàôå öåïè
ñëåäóåò âûäåëèòü âåòâü äåðåâà, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ñå÷åíèå. Ïðè ýòîì ïî-
âåðõíîñòü, êîòîðàÿ ðàçäåëÿåò öåïü íà äâå ÷àñòè, ïåðåñå÷åò íåêîòîðîå ÷èñëî
ñâÿ-
çåé
(
õîðä
) è òîëüêî îäíó âåòâü
äåðåâà
.
Óðàâíåíèå áàëàíñà òîêîâ äëÿ òàêîãî
r
-ãî ñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëü-
íûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî îäíîé ïåðåìåíîé, åñëè
j
-ÿ âåòâü
56
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
äåðåâà ñîäåðæèò êîíäåíñàòîð. Â òàêîé âåòâè òîê ñâÿçàí ñ íàïðÿæåíèåì êîíäåí-
ñàòîðà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
i
Ñ
du
dt
Cj
j
Cj
=
.
Òàêîå
r
-å óðàâíåíèå â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè
Di
=
0
ñèñòåìû óðàâíåíèé
ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
d C
du
dt
d i
rj
j
Cj
rk k
k
k j
l
= -
=
¹
å
1
,
ãäå
l
— ÷èñëî âåòâåé öåïè;
d
r
1
,
d
r
2
, …,
d
rl
— ýëåìåíòû
r
-é ñòðîêè ìàòðèöû ñå÷åíèé
D
.
Óðàâíåíèå áàëàíñà íàïðÿæåíèé â
s
-ì êîíòóðå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî îäíîé ïåðåìåííîé, åñëè ñâÿçü (õîð-
äà), îáðàçóþùàÿ êîíòóð, ñîäåðæèò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè. Â òàêîé
p
-é âåòâè
u
L
di
dt
Lp
Lp
=
.
Òîãäà
s
-å óðàâíåíèå â ìàòðè÷íîé çàïèñè
Cu
=
0
ñèñòåìû óðàâíåíèé âòîðîãî
çàêîíà Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòü òàê:
c L
di
dt
c u
sp
p
p
sk k
k
k p
l
= -
=
¹
å
1
,
ãäå
c
s
1
,
c
s
2
, …,
c
sl
— ýëåìåíòû
s
-é ñòðîêè ìàòðèöû êîíòóðîâ
C
.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìå,
ñëåäóåò â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ áðàòü íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ, îòíîñÿ âåòâè,
ñîäåðæàùèå ýòè ýëåìåíòû, ê âåòâÿì äåðåâà, à òàêæå òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíî-
ñòè, îòíîñÿ âåòâè, ñîäåðæàùèå ýòè ýëåìåíòû, ê ñâÿçÿì.
Ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèé ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ðàñ÷å-
òà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàí ñ ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ îáîáùåí-
íîé âåòâè, ñîäåðæàùåé íàðÿäó ñ ïàññèâíûìè ýëåìåíòàìè â âåòâè (
r
,
L
,
C
) òàêæå
èñòî÷íèê ÝÄÑ, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûé ñ ïàññèâíîé ÷àñòüþ âåòâè, è èñ-
òî÷íèê òîêà, âêëþ÷åííûé ïàðàëëåëüíî âåòâè ñ ÝÄÑ. Ââåäåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ
ïðè âîçìîæíîñòè ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â èñòî÷íèêè
òîêà è íàîáîðîò ïîçâîëÿåò ñîñòàâèòü íàèáîëåå ýêîíîìíûå (â ñìûñëå ÷èñëà íåèç-
âåñòíûõ) ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ñîêðàùåíèå ÷èñëà óçëîâ è âåòâåé â òàêîì ñëó÷àå
óïðîùàåò è îïèñàíèå öåïè.
Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ââåäåíèå îáîáùåííûõ âåòâåé îñëîæ-
íÿåò ïîñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî çà ñ÷åò âûäåëåíèÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â îòäåëüíóþ âåòâü óïðîñòèòü ñîñòàâëåíèå
ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè âûäåëÿåòñÿ â êà÷åñòâå âåòâè, òî îòíåñåíèå âåòâåé ê äåðåâó èëè ê ñâÿçÿì
ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ñ ó÷åòîì ñëåäóþùåãî. Ê âåòâÿì äåðåâà äîëæíû áûòü ïîñëå-
äîâàòåëüíî îòíåñåíû ñíà÷àëà âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ, çàòåì âåòâè ñ êîíäåíñà-
òîðàìè. Åñëè òàêîå äåðåâî íå ñâÿçûâàåò âñå óçëû, òî äîëæíû áûòü äîáàâëåíû
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
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